我们来初步介绍一下晶体物理和等离子体物理的相关基础知识 , 小编初次接触这方面 , 目前还在学习中 , 个人水平也稀松平常 , 本文如有不当之处 , 欢迎批评指正 , 更多精彩内容请关注：
0.导言
Yablonovitch 和 John 首次提出了光子晶体的概念 , 并指出与半导体周期结构会导致电子能隙类似 , 具有空间周期结构的电介质会禁止某些频率的电磁波传播从而形成光子带隙 . 而决定光子带隙的空间结构的特征长度与光的波长近似 , 数量级为 , 由于这种人工光学材料具有特殊的光学性质 , 故它会在新型光学器件中得到广泛的应用 .
光子晶体是一个宏观光学系统 , 可以利用 Maxwell 电磁理论来描述 , 而晶体则是由介电常数不同的电介质构成 , 故介电常数是关于空间位置的函数 , 即 , 其中 为相对介电常数 , 另外对于一般电介质而言 , 于是就得到了 和 , 以及折射率 也是空间位置的函数 . 注意到在电介质内有 和 , 且在晶体的每一种均匀介质中 , 角频率为 的时谐电磁波满足 Helmholtz 方程 , 其中 , 故它的解可以表示为平面波的叠加 , 那么我们使用的求解方法是先求出各均匀电介质区域内的通解 , 然后再利用电磁场的边值关系和边界条件得到相关的结果 .
1.一维光子晶体的转移矩阵
我们用转移矩阵的方法计算一维光子晶体的光子带隙 . 如上图所示 , 考虑两种层状电介质 , 它们沿着 轴方向周期性地交替排列 , 且它们的厚度分别为 和 , 相对于真空的折射率分别为 和 , 而电介质沿 轴方向和 轴方向是均匀的 , 折射率 是关于 的函数 , 即
其中 以及电介质沿 轴方向的周期为 .
在某一层电介质中 , 电场 满足 Helmholtz 方程 , 其中 , 于是有平面波形式的解 . 设角频率 的时谐电磁波在 平面内传播 , 此时波矢 只有 分量和 分量 , 电场 垂直于 平面且与 无关 , 这是一种 波 , 它沿 轴方向是平面波 , 但沿 轴方向则由一个向前传播的入射波和一个向后的反射波构成 , 故第 种电介质层中的电场可以表示为
其中 和 , 和 分别为第 个周期第 种电介质层在的入射波和反射波的复振幅 . 另一方面 , 波矢的 分量是常数 , 而 分量与电介质有关 , 当 时有 , 当 时有 . 注意到 , 其中 为电介质相对于真空的折射率 , 则有 , 在两种电介质的分界面上由电磁场的边值关系可知 , 界面上电场的切向分量是连续的 , 故有
进而得到
同样再利用两种电介质的分界面上由电磁场的边值关系可知 , 界面上磁场的切向分量也是连续的即界面上无电流 , 故有
于是得到
进而有
现在我们将上面的结果写成矩阵形式 , 即有
类似地由第 个周期的第 种电介质与第 个周期的第 种电介质的边界条件就得到了
然后引入矩阵 和 , 因此我们就得到了如下形式
消去矩阵 后就有了 , 其中 为 转移矩阵
计算上式右边的矩阵乘积 , 我们便得到矩阵元分别为
这样一来我们就可以方便地计算电磁波在任意多层一维光子晶体中的反射和投射 , 既然以上的讨论中我们没有考虑电磁波的吸收与产生 , 那么就可以证明转移矩阵的行列式等于 , 即 .
2.一维光子晶体的光子带隙与全反射
我们考虑无穷大的一维光子晶体 , 两种电介质沿着整条 轴交替排列形成周期为 的结构 , 于是电场可以表述为
其中 为周期函数 , 而 是待定的函数 . 既然不考虑电磁波的吸收和产生 , 以及 方向上是无穷大的 , 那么在这样的周期性结构中 , 稳定的能量密度和能流密度分布应呈现周期性 , 故有
进而有 , 即上式对任意 成立的解为 , 其中 为常数 , 因此电场对 的依赖关系可以写成一个周期函数和平面波的乘积形式 , 即
这个结果被称为 Bloch 定理 , 它的等价形式为
再将
代入后得到
而上式对任意的 成立的条件为 和 , 并代入 后得到 , 这个方程有非零解的充要条件是系数行列式为零 , 即
由此得到
因此经过一番简单的计算就得到
显然当 时 为实数 , 此时在光子晶体中可以传播 波 , 当 时 有不为零的虚部 , 此时电磁波在光子晶体中指数衰减 , 用 替换上面的 的表达式中的 和 就可以给出角频率 , 波矢 和参数 三者之间的一个关系式 , 且这个关系式隐含了色散关系 , 值得一提的是 , 只要 为实数 , 即使 或 是虚数 , 电磁波也可以在光子晶体中传播 .
上图给出了 波的色散关系在 - 平面的投影 , 此时 和 , 而 , 能在光子晶体中传播的电磁波限制在阴影区域 内 , 而空白区域 内对应的波模不能在光子晶体中传播即光子带隙 . 由图可知任意频率都有相应的波矢使得波模落在阴影区域中 , 故一维光子晶体的光子带隙并不是完全带隙 , 但在二维和三维光子晶体中可以存在完全带隙 , 类似地也可以得到电场 平行于 平面的 波的色散关系 .
下面考虑 波从真空投射到一维光子晶体以 轴为法线的表面上 , 设第一层介质和第二层介质的折射率分别为 和 , 令入射角为 , 电磁波在第一层介质和第二层介质中的折射角分别为 和 , 由于各层电介质相互平行 , 故 也是第二层介质的入射角 . 根据电磁波的折射规律可知 , 以及真空中有 , 则入射波矢的分量为 和 , 故对所有角度入射的电磁波有 , 上图中的虚线就给出了 , 因此对于 波 , 只有当 落在纵轴与虚线所围成的三角形区域内 , 电磁波才能进入光子晶体 , 进而我们只要选择适当折射率和结构的晶体 , 就可以使得某些频率的电磁波无论其入射角如何都无法进入晶体中 , 这就是光子晶体中的全反射现象 .
参考文献与推荐阅读：
[1] K.Sakoda , Optical Properties of Photonic Crystals .
[2] J.A.Bittencourt , Fundamentals of Plasma Physics .
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