写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第九篇第一部分 , 主要内容是讨论一下 Gauss-Bonnet-Chern 定理的相关内容 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Berezin 积分
1.Berezin 积分
本文开始我们介绍一下 Mathai 和 Quillen 关于 Gauss-Bonnet-Chern 定理的证明 , 在这个证明中他们给出了 Thom-形式的构造 , 下面我们从一个最简单的情形出发 .
设 是一个 维定向 Euclid 空间 , 并将它视为单点上的一个向量丛 , 令 是 上的一个定向 Euclid 坐标系以及
则可以得到 , 接下来我们用 Berezin 积分的语言重新叙述上式 .
设 的外代数 , 则定义 维定向 Euclid 空间 的 Berezin 积分是如下的一个线性映射
于是如果 是 的一个定向标准正交基且 是 的 次分量 , 那么得到 .
然后我们将 提升为 上的一个向量丛 , 设 是 的系数在 中的光滑截面空间 , 进而可以将 Berezin 积分扩张到 上 , 使得对于任意 和 , 有
其中 和 . 而 上的恒等映射 则自然地视为 中的一个元素 , 它的外微分为 , 于是下面的结果给出了微分形式 的一个 Berezin 积分解释 .
命题1：在 中下面的等式成立
证明：由于 , 故直接得到
从而得到
最后令 是流形 上秩为 的定向 Euclid 向量丛 , 这样一来前面定义的 Berezin 积分就可以逐点纤维地自然扩张为一个 -映射
我们仍把上面的映射称为 Berezin 积分 .
下面设 是 上的一个 Euclid 联络 , 此时 保持 上的度量 不变 , 那么同样该联络可以自然扩张为 上的作用 , 于是就有下面的性质 .
命题2：对任意的 , 有 .
证明：令 为 的一个定向标准正交基 , 不失一般性 , 我们假设 , 其中 . 由于 保持 的 Euclid 度量不变 , 故直接得到
因此就有
这个性质对于构造 Mathai-Quillen 的 Thom-形式有重要的应用 . 事实上根据
可知 , 成立只需满足 保持 不变 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] V.Mathai , D.Quillen . Superconnections , Thom classes and equivariant differential forms .
您的点赞与关注是我们坚持不懈的动力 (点开名片进行关注）：
由于微信平台算法改版，公号内容将不再以时间排序展示，如果您想第一时间看到我的推送，强烈建议星标我的公众号。星标具体步骤为：在公众号主页点击右上角的小点点，在弹出页面点击“设为星标”，就可以啦。感谢您的支持！
