写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第六篇 , 主要内容是奇数维情形的 Chern-Weil 理论 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
奇数维情形的 Chern-Weil 理论
前面我们主要讨论了偶数维情形的示性式与示性类的 Chern-Weil 理论 , 本文主要是描述该理论的奇数维的情形 .
设 是一个光滑闭流形 , 令 是从 到一般线性群 的一个光滑映射 , 其中 是一个正整数 . 接下来令 是 上秩为 的平凡复向量丛 , 则映射 可以成为复向量丛的自同构群 的一个截面 , 然后令 是 上的一个平凡联络 , 于是自然可以得到一个元素 , 如果 是一个正偶数 , 那么有
另一方面由 可知 , 故当 为正奇数时有
下面的引理表明 , 由闭形式 决定的上同调类不依赖于 的光滑形变 .
引理1：如果 光滑依赖于 , 那么对任意正奇数 , 有
证明：由于 , 以及 的作用类似于 , 故有
另一方面我们还能得到
从而对于任意的正偶数 , 则有 , 因此
上式中 表示上同调类 , 而 表示 Lie 括号 , 这样一来引理1得证 .
下面我们再来看一些结果 .
推论2：如果 分别为从 到一般线性群 的两个光滑映射 , 那么对任意正奇数 , 存在 , 使得下面的超渡公式成立
证明：考虑两个平凡复向量丛的直和 , 而在 上具有通过 上的平凡联络诱导的平凡联络 . 对任意的 , 我们定义 如下
故得到 和 , 进而 给出了 中的两个截面 和 之间的光滑形变 . 然后对 应用引理1就得到
因此下面的超渡公式成立 , 即
推论3：设 , 如果 是 上的另一个平凡联络 , 那么对任意正奇数 , 存在 , 使得下面的超渡公式成立
证明：显然存在 使得 , 于是我们可以得到
进而根据 , 上式以及推论2可知 , 对于任意的正奇数 , 存在 , 使得
因此就得到了超渡公式 .
事实上根据引理1和推论3可知 , 由 确定的上同调类仅依赖于 的同伦类 . 我们令 为正奇数 , 则称闭 -形式 是与 相联系的第 个 Chern 形式并记作 , 相应地与 的同论类 相联系的上同调类 称为第 个 Chern 类 , 我们定义与 相联系的奇 Chern 特征形式为
其中 为相应的上同调类并称之为与 相联系的奇 Chern 特征 . 而对于任意两个映射 , 根据推论2可以得到下面的加法性质 , 即
下面的整性结果局部地解释了在奇 Chern 特征形式的表达式中系数选取的原因 , 即如果 是奇数维闭的定向 -流形 , 是 上的复向量丛 , 是从 到一般线性群 的一个光滑映射 , 那么 是一个整数 . 至于上述整性的结果的指标理论方面的解释则可以参考《P.Baum , R.G.Dougla , -homology and index theory》和《E.Getzler , The odd Chern character in cyclin homology and spectral flow》, 而关于这个整性在 可能不是闭流形的情形的推广 , 我们需要参考《X.Dai , W.Zhang , An index theorem for Toeplitz operators on odd dimensional manifolds with boundary》.
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] S.S.Chern , J.Simons , Characteristic forms and the geometric invariants .
[3] S.S.Chern , Geometry of characteristic classes .
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