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本文我们再次补充一些经典电动力学中的一些重要的问题及其解答 .
例1：电荷 均匀分布于半径为 的球体内 , 求空间内各个点的电场强度 , 并计算电场的散度 .
解：作半径为 的且与带有电荷的球体的同心球面 , 由对称性可知 , 在球面上各个点的电场强度具有相同的数值 , 方向为径向 .
当 时 , 所围球面内的总电荷为 , 由 Gauss 定理可得
即
因此当 时有
当 时 , 所围球面内的总电荷为
应用 Gauss 定理可知
即
因此当 时有
下面我们计算电场的散度 .
当 时 , 由于 时满足 , 故直接得到
当 时 , 由于 , 故再次直接计算得到
通过上面的结果可以看出电场散度的局域性质 , 尽管对任意一个包围着电荷的曲面都有电通量 , 但电场的散度只存在于有电荷分布的区域内 , 在没有电荷分布的空间中电场的散度为零 .
例2：电流 均匀分布于半径为 的无穷长直导线内 , 求空间内各个点的磁感应强度 , 并计算磁场的旋度 .
解：在与载有电流的无限长直导线垂直的平面上作一个半径为 的圆 , 且圆心在导线轴上 , 由对称性可知 , 在圆周上各个点的磁感应强度具有相同的数值 , 方向为环绕圆周的方向 .
当 时 , 通过圆内的总电流为 , 由 Ampere 环路定理可得
即
因此当 时有
当 时 , 通过圆内的总电流为
应用 Ampere 环路定理可知
即
因此当 时有
下面我们计算电场的散度 .
当 时 , 有
当 时 , 有
通过上面的结果可以看出磁场旋度的局域性质 , 即某点及其邻域上的磁场的旋度只与该点处的电流密度有关 , 尽管对任意包围导线的回路都有环量 , 但磁场的旋度只存在于有电流分布的导线内部 , 而在周围空间中磁场的旋度为零 .
例3：无穷大的平行板电容器内有两层介质 , 如下图所示且极板上的面电荷密度分别为 和 , 求电场和束缚电荷密度 .
解：由对称性可知 , 电场的方向垂直于平行板 , 将电磁场的边值关系 应用于下板于介质 的界面上 , 因为导体极板内场强为零 , 即 , 所以得到 , 同理将电磁场的边值关系 应用于介质 与上极板的界面上 , 所以得到 , 进而有 和 .
注意到束缚电荷分布在介质表面上 , 在两介质的交界面处有 , 根据 可以推出 , 在介质 与下极板的交界处 , 根据 可以推出 , 在介质 与上极板的交界处 , 根据 推出 , 因此得到 , 这意味着介质整体是呈电中性的 .
例4：证明 的磁性物质表面为等磁势面 .
解：设下标 表示磁性物质 , 下标 表示真空 , 则根据磁场的边值关系 和 可知 , 和 , 注意到 和 , 以及此时 , 于是我们得到 和 , 其中下标 和下标 分别表示法向分量和切向分量 , 进而得到
这意味着在磁性物质外侧 与表面垂直 , 因此该表面为等磁势面 .
这个结果对于磁场的获得意义重大 , 一般软铁磁材料的 值都很大 , 故用这些材料制造的磁极 , 当用电流磁化时 , 它们的表面近似为等磁势面 , 然后由磁极表面的磁势 等于常数这一边界条件可以求出磁极之间的磁场 , 所以选择恰当的磁极表面的形状可以得到不同形式的磁场 .
例5：证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏振的 电磁波 .
解：如上图所示 , 设两导体板与 轴垂直 , 边界条件为在两导体平面上有 和 , 如果沿 轴传播的平面电磁波的电场沿 轴方向发生偏振 , 那么这个平面波满足导体板上的边界条件 , 因此可以在两导体板之间传播 , 而另一种它的电场与导体平面相切偏振的平面电磁波不满足边界条件 , 因此不能在两导体平面之间传播 , 所以在两导体板之间只能传播一种偏振的 的电磁波 .
参考文献和推荐阅读：
(1) 电动力学, by 郭硕鸿
(2) 经典电动力学, by John David Jackson
(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths
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