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Maxwell 方程组和 Lorentz 公式

在《从电磁学到电动力学：电磁现象的普遍规律之电荷和电场》和《从电磁学到电动力学：电磁现象的普遍规律之电流和磁场》两篇文章中由实验定律给出了恒定电磁场的基本规律 , 但我们需要进一步讨论交变电磁场的情形 , 事实上我们由实验结果可知 , 电荷激发电磁 , 电流激发磁场 , 且变化的电场和磁场可以相互激发 , 进而电场和磁场成为一个整体——电磁场 . 和恒定电磁场相比 , 交变电磁场的不同之处在于变化的磁场激发电场和变化的电场激发磁场 , 前者由 Faraday 电磁感应定律得到 , 后者则来源于 Maxwell 位移电流假设 , 下面我们来详细讨论这两者 .

1.Faraday 电磁感应定律

1831年 Faraday 发现了当磁场发生变化时 , 附近闭合线圈中有电流通过 , 并由此总结出了电磁感应定律 , 即闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比 , 下面我们来说明两者的方向关系 .

如上图所示 , 设 为闭合线圈 , 为 所围成的一个曲面 , 为 上的一个面积元 , 且规定 的绕行方向与面积元的法向法向成右手螺旋关系 . 根据实验结果可知 , 当通过 的磁通量增加时 , 在线圈 上的感应电动势 与 的绕行方向相反 , 于是我们可以将电磁感应定律表示为 , 其中负号表示感应电动势的方向与磁通量的变化率的方向相反 .

事实上线圈中的电荷是直接受到该处的电场作用而运动的 , 线圈中有感应电流就表明空间中存在电场 , 这意味着电磁感应现象的实质是变化的磁场在空间周围激发了电场 , 这是电场和磁场内部相互作用的一个方面 . 而感应电动势是电场强度 沿闭合回路 的线积分 , 此时电磁感应定律可以改写为

如果回路 是空间中的一条固定回路 , 那么上式就改写为

上式的左边的线积分可以化为面积分 , 即

然后就得到了电磁感应定律的微分形式为 , 这是磁场对电场的基本作用规律 , 因此感应电场是有旋场 , 因此在一般情形下我们必须用 代替静电场的 .

2.Maxwell 位移电流假设

既然已经知道了变化的磁场可以激发电场 , 下面我们开始讨论变化的电场能否激发磁场 , 在此之间需要分析非恒定电流分布的特点 . 众所周知 , 恒定电流是闭合的 , 此时 , 而在交变情形下电流分布受到电荷守恒定律制约 , 一般不是闭合的 , 如果电路中存在电容器 , 那么这个电路是非闭合回路 , 在电容器的两板之间是绝缘介质 , 自由电子无法通过 , 当电荷运动到板上时不能穿过介质 , 就在板上聚集起来 , 在交变电路中 , 电容器就交替充电和放电 , 但两板之间的介质内始终没有传导电流通过 , 故电流在电容器处实际上是中断的 . 一般地在非恒定情形下根据电荷守恒定律可知 .

注意到电流激发磁场的基本方程为 , 接下来两边取散度 , 由于 , 故上式只有当 时才成立 , 即在恒定的情况下电流是闭合的 , 在理论上是没有矛盾的 , 它仅仅是在恒定情形下由实验结果导出的特殊规律 . 但是在非恒定的情形下有 , 此时 就和电荷守恒定律发生矛盾了 , 由于电荷守恒定律是自然界一条精确的普遍规律 , 故我们只能修正 这一电流激发磁场的基本方程 , 使它服从普遍的电荷守恒定律的要求 .

下面我们对 进行推广 , 假设存在一个位移电流 使得满足 , 同时假设位移电流 和传导电流 一样都能激发磁场 , 于是有 , 这样一来上式两边取散度后均为零 , 此时理论上不再有矛盾 . 然后我们就可以根据 推导出 的可能表达式 , 根据电荷守恒定律 以及静电场的 Gauss 定理 可知 , 有 , 于是位移电流 的一个可能的表达式为 .

从数学角度讲 , 仅根据 是不能唯一确定 的 , 而从物理上讲 , 是满足 的最简单的表示式 , 且既然变化的磁场能激发电场 , 那么变化的电场能激发磁场也是合理的假设 . 位移电流实质上是电场的变化率 , 它由 Maxwell 引入 , 后来电磁波的实践证明了 Maxwell 位移电流假设的正确性 .

3.Maxwell 方程组

自此我们已经把电磁学中最基本的实验定律概括为一组方程—— Maxwell 方程组 , 即

它反映了一般情形下电荷电流激发电磁场以及电磁场内部运动规律 , 在 和 的区域 , 电场和磁场通过本身的相互激发而运动传播 , 电场和磁场的相互激发是它存在和运动的主要原因 , 而电荷和电流则以一定形式作用于电磁场 .

Maxwell 方程组最重要的意义在于它揭示了电磁场的内部作用和运动 , 不仅电荷和电流可以激发电场和磁场 , 而且变化的电场和磁场也可以相互激发 , 故当空间中某处发生电磁扰动 , 由于电场和磁场的相互激发 , 电磁场就在空间中传播形成电磁波 , Maxwell 通过这组方程组在理论上预测了电磁波的存在性并提出光也是一种电磁波 , 后来 Hertz 通过实验以及近代无线电方面的实践完全证实了 Maxwell 方程组的正确性 .

4.Lorentz 公式

众所周知 , 电磁场与带电物质之间有着紧密的联系 , 上面的 Maxwell 反映了电荷电流激发的电场和磁场场以及电磁场的内部运动 , 而电磁场反过来也会对电荷电流体系产生作用力已经在 Coulomb 定律和 Ampere 定理中反映出来 , 即静止点电荷 受到静电场的作用力为 , 恒定电流源 受到磁场的作用力为 , 如果电荷为连续分布且密度为 , 那么电荷系统在单位体积内受到的力密度为 , 这个结果我们称为 Lorentz 力密度公式 , 这也是一般情形下电磁场对电荷电流体系作用的结果 . 对于带点粒子体系而言 , 设粒子的电荷为 , 速度为 , 则 等于单位体积内的 之和 , 然后把 Lorentz 力密度公式应用到其中一个粒子上就得到了一个带电粒子受到电磁场的作用力为 , 这是推广后的 Lorentz 力公式 , 后来在近代物理发展和实践过程中证明了 Lorentz 公式对任意运动的带电粒子都是适用的 . 现代带点粒子加速器和电子光学设备等都是以 Maxwell 方程组和 Lorentz 公式作为理论基础 .

总结了前面的实验结果 , 然后又经过后来的实践检验的 Maxwell 方程组和 Lorentz 公式 , 正确地反映了电磁场运动规律以及电磁场和带电粒子相互作用规律 , 并称为经典电动力学的理论基础 , 而其它的关于电磁现场的实验定律包括 Ohm 定律 , 介质的极化和磁化规律等 , 原则上都可以在此基础上加上物质结构模型用量子力学理论推导出来 , Ohm 定律就是导体内部自由电子受到外电场作用力和受到晶格电场作用力而发生运动结果 , 并根据一定的导体微观结构模型来计算电导率 , 但这个方法却受限于对物质微观结构和动力学机制的认识 , 目前还无法作出完美的解释 . 因此在宏观电动力学中除了基本的 Maxwell 方程组和 Lorentz 公式以外 , 还需要唯象地补充一些关于介质的电磁性质的实验定律 , 具体内容可以参考《电动力学补充专题：介质的电磁性质》一文 .

参考文献和推荐阅读：

(1) 电动力学, by 郭硕鸿

(2) 经典电动力学, by John David Jackson

(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths

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