写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第十篇汇总 , 主要内容是 Gauss-Bonnet-Chern 定理的证明 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
再谈 Gauss-Bonnet-Chern 定理
1.Gauss-Bonnet-Chern 定理的证明
我们现在假设 是一个 维定向闭的 Riemann 流形 , 其中 是偶数 , 而 是 上的的切丛 , 是与 上的度量 相联系的 Levi-Civita 联络 , 以及 是联络 的曲率 , 于是我们就可以叙述 Gauss-Bonnet-Chern 定理了 .
定理 (Gauss-Bonnet-Chern 定理)：设 是 的 Euler 示性数 , 则下面的等式成立
证明：设 是流形 上的切丛 的一个横截截面 , 此时 是 上的一个光滑切向量场 , 它的零点是孤立切非退化的 , 于是我们令 的零点集为 , 对任意的 , 存在点 的一个充分小的开邻域 以及该邻域上的一个定向坐标系 使得在点 附近有 和 , 其中 , 而 是一个不依赖于 的 矩阵且满足 .
事实上横截截面的存在性是微分拓扑学中的一个简单且重要的结果 , 为了证明定理中的等式 , 我们将《Chern-Weil 理论(第九篇汇总)：初探 Gauss-Bonnet-Chern 定理》一文中 Euler 形式的定义式改写为当 时有
那么对任意的 有
事实上我们还可以对任意的 , 通过对向量场作微调使得 变为 , 此外我们调整切丛上的度量 使得 上的度量 具有下面的形式 , 即
因此我们得到
注意到在 上 有正的下界 , 故当 时有
另一方面对任意的 , 直接可以得到当 时
现在由经典的 Poincaré-Hopf 指标公式
可以证明 Gauss-Bonnet-Chern 定理 , 即
本文的最后我们来作一些说明 . 为了呈现上面的证明过程与 S.S.Chern 的原始证明之间的密切关系 , 则需要在 的情形下对《Chern-Weil 理论(第九篇汇总)：初探 Gauss-Bonnet-Chern 定理》一文中的命题5——超渡公式的两边从 到任意的 积分 , 故有
如果将上式限制在 的单位球丛 上 , 那么直接可以得到当 时有
于是当限制在单位球丛 上时就有
上式在形式上与 Chern 超渡公式完全相同 , 详细内容可以参考《S.S.Chern , A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds》 .
2.Gauss-Bonnet-Chern 定理的原始证明
接下来我们来叙述 S.S.Chern 对超渡公式
的原始证明 , 且由上式以及 Poincaré-Hopf 指标公式和 Stokes 公式便可证明 Gauss-Bonnet-Chern 定理 .
令 为切丛 的单位球丛 , 此时 构成单位球丛 上 的具有单位长度的截面并记为 , 再令 均为单位球丛 上 的局部定义的截面 , 使得 构成单位球丛 上 的一个定向标准正交基 . 对于任意整数 , 我们设 是单位球丛 上局部定义的 -形式即 , 而 是单位球丛 上局部定义的 -形式 , 故可以得到 , 于是对上式两边作外微分就可以得到 Bianchi 恒等式的局部形式 , 即
下面我们参考《S.S.Chern , On the curvatura integra in a Riemannian manifold》一文 , 对满足 , 定义
同时规定 . 我们可以直接得到 和 不依赖于 的选取 , 从而 和 均是定义在单位球丛 上的整体微分形式 , 于是得到
另一方面由 可知 , 现在我们在上式中代入
后同时注意到 是单位球丛 上的整体微分形式 , 于是涉及局部定义的 的项彼此抵消 , 其中 , 事实上对任意的 , 则可以在点 附近构造出 使得对于 有 , 经过一番计算后我们得到
然后我们定义
因此得到单位球丛 上的超渡公式 , 这就得到了 Chern 超渡公式
最后我们再来作一些补充说明 . S.S.Chern 关于 Gauss-Bonnet-Chern 定理的原始证明过程中除了引入超渡的观念以外 , 还是首次利用内蕴定义的球丛来解决现代几何学中的重要问题 , 尽管 Mathai 和 Quillen 借助 Thom 形式的几何构造给出了 Chern 超渡公式的一个合理解释 , 但如何构造出 和 , 特别是它们如何出现在 Chern 超渡公式中 , 我们仍然知之甚少 .
关于 Gauss-Bonnet-Chern 定理还有一个是由 Patodi 给出的热核证明 , Patodi 的证明是利用超空间和超迹的语言进行处理的 , 另外 Witten 还给出了 Poincaré-Hopf 指标公式的一个解析证明 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] S.S.Chern , A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds .
[3] S.S.Chern , On the curvatura integra in a Riemannian manifold .
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