写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第九篇汇总 , 主要内容是 Gauss-Bonnet-Chern 定理 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
Gauss-Bonnet-Chern 定理初探
1.Berezin 积分
本文开始我们介绍一下 Mathai 和 Quillen 关于 Gauss-Bonnet-Chern 定理的证明 , 在这个证明中他们给出了 Thom 形式的构造 , 下面我们从一个最简单的情形出发 .
设 是一个 维定向 Euclid 空间 , 并将它视为单点上的一个向量丛 , 令 是 上的一个定向 Euclid 坐标系以及
则可以得到 , 接下来我们用 Berezin 积分的语言重新叙述上式 .
设 的外代数 , 则定义 维定向 Euclid 空间 的 Berezin 积分是如下的一个线性映射
于是如果 是 的一个定向标准正交基且 是 的 次分量 , 那么得到 .
然后我们将 提升为 上的一个向量丛 , 设 是 的系数在 中的光滑截面空间 , 进而可以将 Berezin 积分扩张到 上 , 使得对于任意 和 , 有
其中 和 . 而 上的恒等映射 则自然地视为 中的一个元素 , 它的外微分为 , 于是下面的结果给出了微分形式 的一个 Berezin 积分解释 .
命题1：在 中下面的等式成立
证明：由于 , 故直接得到
从而得到
最后令 是流形 上秩为 的定向 Euclid 向量丛 , 这样一来前面定义的 Berezin 积分就可以逐点纤维地自然扩张为一个 -映射
我们仍把上面的映射称为 Berezin 积分 .
下面设 是 上的一个 Euclid 联络 , 此时 保持 上的度量 不变 , 那么同样该联络可以自然扩张为 上的作用 , 于是就有下面的性质 .
命题2：对任意的 , 有 .
证明：令 为 的一个定向标准正交基 , 不失一般性 , 我们假设 , 其中 . 由于 保持 的 Euclid 度量不变 , 故直接得到
因此就有
这个性质对于构造 Mathai-Quillen 的 Thom 形式有重要的应用 . 事实上根据
可知 , 成立只需满足 保持 不变 .
2.Mathai-Quillen 的 Thom 形式
下面我们将利用 Berezin 积分构造 Mathai-Quillen 的 Thom 形式 .
设 是一个定向闭流形 , 是 上秩为 的定向 Euclid 向量丛 , 以及 是 上的一个 Euclid 联络 , 它可以自然提升为 上的一个 Euclid 联络且自然诱导了 上的一个导子 . 另外对任意的 , 作用在 上的内乘算子 也可以自然地扩张为 上的一个导子 . 现在我们将命题2应用于三元组 .
由于内乘算子在 上的作用是降低 中的元素的次数 , 故根据命题2可知 , 对任意的 和 , 有
成立 .
接下来我们利用映射 将 中反自伴元素的集合 与 等同起来 , 其中 和 , 于是得到 与 的定向标准正交基 的选取无关 .
现在我们考虑代数 中的下面的元素 , 一是恒等截面 , 二是元素 和 , 三是元素 , 它是曲率 在映射 作用下的拉回 , 事实上这里我们利用了映射 将 中的 与 等同性质 , 进而我们有下面的结果 .
引理3：令
则有 .
证明：由 Leibniz 法则可知 , 有
再根据曲率的定义可知 , 有
另一方面由 Bianchi 恒等式可知 , 以及注意到一个显然的事实 , 因此
即引理3得证 .
有了上面的引理后 , 我们可以定义 上的微分形式为
事实上 是 上的一个 Thom 形式 , 这个可以由下面的命题推出 .
命题4：微分形式 是 上一个闭的 -形式 , 进而还有沿纤维积分公式 .
证明：由于 , 故 , 于是有 , 进而得到
即 是 上的一个闭的 -形式 . 然后我们将 限制在 的每一个纤维上 , 再根据命题1以及 , 这就推出了 .
不过 Mathai 和 Quillen 一开始是在计算 -丛上 Quillen 超联络的 Chern 特征时得到了 Thom 形式 , 而本文使用的 Berezin 积分的形式的处理方法则是源于《V.Mathai , D.Quillen . Superconnections , Thom classes and equivariant differential forms》和《N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators》 .
3.超渡公式
众所周知 , Thom 形式的定义依赖于 上的 Euclid 度量 和 Euclid 联络 的选取 , 于是就可以通过选择某种超渡公式就可以证明它的上同调类即相应的 Thom 类也独立于这些度量和联络的选取 . 为了证明 Gauss-Bonnet-Chern 定理 , 本文我们仅讨论某一特殊情形下的超渡公式 , 即对于 上的 Euclid 度量作伸缩形变的情形 , 事实上该形变等价于对于 , 我们将引理3中的 的表达式里的 形变为 , 此时有
于是关于 的微分形式 的表达式就可以改写为
进而 是对应于 的 Thom 形式 , 然后就有了下面的超渡公式 .
命题5(超渡公式)：
证明：由于
故有
这样一来引理3的结果即 可以改写为 于是就得到了
进而有
因此超渡公式得到了证明 .
4.Euler 形式与 Euler 类
设定向实向量丛 的秩为 , 其中 是一偶数 , 而 是 的一个光滑截面 , 则根据 的微分形式 的表达式即
以及命题4可知 , 拉回形式 是 上的一个 次闭微分形式 , 且有
特别地如果 即为 的零截面 , 那么就得到了与三元组 相联系的 Euler 形式
设 是 的任意一个局部定向标准正交基 , 然后令
接下来借助等同映射 就可以得到
从而有
其中 为多重 Kronecker 符号 , 一般地对于 的一个排列 视为 的偶排列或奇排列的情形 , 且分别记作 和 , 其余情形均规定为零 .
下面的结果表明与 相联系的上同调类 并不依赖于度量 和保度量联络 的选取 , 我们称这个上同调类为 Euler 类并记作 . 下面我们再来看一个结果 .
命题6：设 是 上的另一个度量 , 是任意一个保持度量 的联络 , 是联络 的曲率 , 则存在一微分形式 使得 .
证明：对任意的 , 令 是 上的度量且由 所定义 , 而 是保持度量 的 Levi-Civita 联络以及 是联络 的曲率 .
根据命题2和 Bianchi 恒等式可知 , 并结合上面提及的 Euler 形式的定义 , 故有
于是就得到了
其中 , 因此命题得证 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] V.Mathai , D.Quillen . Superconnections , Thom classes and equivariant differential forms .
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