写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第九篇第二部分 , 主要内容是讨论一下 Gauss-Bonnet-Chern 定理的相关内容 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Thom 形式
2.Mathai-Quillen 的 Thom 形式
我们将利用《Chern-Weil 理论(第九篇第1部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Berezin 积分》一文中的 Berezin 积分构造 Mathai-Quillen 的 Thom 形式 .
设 是一个定向闭流形 , 是 上秩为 的定向 Euclid 向量丛 , 以及 是 上的一个 Euclid 联络 , 它可以自然提升为 上的一个 Euclid 联络且自然诱导了 上的一个导子 . 另外对任意的 , 作用在 上的内乘算子 也可以自然地扩张为 上的一个导子 . 现在我们将《Chern-Weil 理论(第九篇第1部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Berezin 积分》一文中的命题2应用于三元组 .
由于内乘算子在 上的作用是降低 中的元素的次数 , 故根据《Chern-Weil 理论(第九篇第1部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Berezin 积分》一文中的命题2可知 , 对任意的 和 , 有
成立 .
接下来我们利用映射 将 中反自伴元素的集合 与 等同起来 , 其中 和 , 于是得到 与 的定向标准正交基 的选取无关 .
现在我们考虑代数 中的下面的元素 , 一是恒等截面 , 二是元素 和 , 三是元素 , 它是曲率 在映射 作用下的拉回 , 事实上这里我们利用了映射 将 中的 与 等同性质 , 进而我们有下面的结果 .
引理3：令
则有 .
证明：由 Leibniz 法则可知 , 有
再根据曲率的定义可知 , 有
另一方面由 Bianchi 恒等式可知 , 以及注意到一个显然的事实 , 因此
即引理3得证 .
有了上面的引理后 , 我们可以定义 上的微分形式为
事实上 是 上的一个 Thom 形式 , 这个可以由下面的命题推出 .
命题4：微分形式 是 上一个闭的 -形式 , 进而还有沿纤维积分公式 .
证明：由于 , 故 , 于是有 , 进而得到
即 是 上的一个闭的 -形式 . 然后我们将 限制在 的每一个纤维上 , 再根据《Chern-Weil 理论(第九篇第1部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Berezin 积分》一文中的命题1以及 , 这就推出了 .
不过 Mathai 和 Quillen 一开始是在计算 -丛上 Quillen 超联络的 Chern 特征时得到了 Thom 形式 , 而本文使用的 Berezin 积分的形式的处理方法则是源于《V.Mathai , D.Quillen . Superconnections , Thom classes and equivariant differential forms》和《N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators》 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] V.Mathai , D.Quillen . Superconnections , Thom classes and equivariant differential forms .
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