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今天我们继续来讨论经典电动力学的相关内容 , 主要是对静电场的一些问题进行相关的讨论 .
静电场的问题合集
首先讨论一个与静电场的唯一性定理相关的问题 .
例1：如上图所示 , 两个同心导体球壳之间充满两种介质 , 左半部分介质的介电常数为 , 右半部分介质的介电常数为 , 而内球壳半径为 且带总电荷 , 外球壳接地 , 求电场和球壳上的电荷分布 .
解：设左右两介质内的的电势 , 电场强度和电位移分别为 和 , 由于左右两个半球壳内是不同的介质 , 故电场一般与只有一种介质时的球对称情形不同 , 于是我们在尝试求解时 , 先考虑两种介质在分界面上的边值关系 和 . 如果假设 仍然保持球对称性 , 那么有 和 , 其中 为待定常数 . 事实上在分界面两侧的电场在与界面相切的方向上的值相同 , 即边值关系 得到满足 , 另一方面在界面的法向上两侧的电位移均为零 , 边值关系 亦得到满足 . 满足球对称性的 在导体球面上处处与球面垂直 , 这就保证了导体球面为等势面 . 为了满足内导体球总电荷为 的条件 , 我们计算内导体球面上的积分 , 即
其中 和 分别为左右半球面 , 然后将 和 代入上式后得到 , 即 , 进而有 和 , 这个解满足静电场的唯一性定理的所有条件 , 因此我们证明了它是唯一的解 .
尽管 仍然保持球对称性 , 但是电位移矢量 和导体面上的自由电荷面密度 却不具备球对称性 , 那么球面上自由电荷面密度分别为
其中 和 分别是电位移矢量在径向上的值 , 和 分别是电场强度在径向上的值 .
接下来我们求解下列电偶极矩和电四极矩的问题 .
例2：均匀带电的旋转椭球体的半长轴为 , 半短轴为 , 且带总电荷 , 计算椭球体的电偶极矩和电四极矩 , 以及远处的电势 .
解：取 轴为旋转轴 , 椭球方程为
而椭球所带电荷密度为 , 此时电偶极矩为零 , 电四极矩为
由对称性可知
于是得到
令 , 则再次根据对称性可知
以及 于是得到
以及
因此电四极矩产生的势为
因此该椭球体在远处的势为
其中 .
然后我们来计算静电场的能量问题 .
例3：求带电荷 , 半径为 的导体球的静电场总能量 .
解：由于电荷分布于导体球面上且整个导体为等势体 , 此时球面上的电势 , 故静电场的总能量为 . 事实上静电场总能量我们还可以用另外的方法计算 , 由于球内的电场强度为零 , 故只需对球外的区域进行积分即可 , 则有
参考文献和推荐阅读：
(1) 电动力学, by 郭硕鸿
(2) 经典电动力学, by John David Jackson
(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths
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