写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第九篇第三部分 , 主要内容是讨论一下 Gauss-Bonnet-Chern 定理的相关内容 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
超渡公式、 欧拉形式和欧拉类
3.超渡公式
在《Chern-Weil 理论(第九篇第2部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Thom 形式》一文中关于 Thom 形式的定义依赖于 上的 Euclid 度量 和 Euclid 联络 的选取 , 于是就可以通过选择某种超渡公式就可以证明它的上同调类即相应的 Thom 类也独立于这些度量和联络的选取 . 为了证明 Gauss-Bonnet-Chern 定理 , 本文我们仅讨论某一特殊情形下的超渡公式 , 即对于 上的 Euclid 度量作伸缩形变的情形 , 事实上该形变等价于对于 , 我们将《Chern-Weil 理论(第九篇第2部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Thom 形式》一文中引理3的 的表达式中的 形变为 , 此时有
于是《Chern-Weil 理论(第九篇第2部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Thom 形式》一文中的关于 的微分形式 的表达式就可以改写为
进而 是对应于 的 Thom 形式 , 然后就有了下面的超渡公式 .
命题5(超渡公式)：
证明：由于
故有
这样一来《Chern-Weil 理论(第九篇第2部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Thom 形式》一文中引理3的结果即 可以改写为 于是就得到了
进而有
因此超渡公式得到了证明 .
4.Euler 形式与 Euler 类
设定向实向量丛 的秩为 , 其中 是一偶数 , 而 是 的一个光滑截面 , 则根据《Chern-Weil 理论(第九篇第2部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Thom 形式》一文中的关于 的微分形式 的表达式即
以及《Chern-Weil 理论(第九篇第2部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Thom 形式》一文中的命题4可知 , 拉回形式 是 上的一个 次闭微分形式 , 且有
特别地如果 即为 的零截面 , 那么就得到了与三元组 相联系的 Euler 形式
设 是 的任意一个局部定向标准正交基 , 然后令
接下来就根据《Chern-Weil 理论(第九篇第2部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Thom 形式》一文中的等同映射 就可以得到
从而有
其中 为多重 Kronecker 符号 , 一般地对于 的一个排列 视为 的偶排列或奇排列的情形 , 且分别记作 和 , 其余情形均规定为零 .
下面的结果表明与 相联系的上同调类 并不依赖于度量 和联络 的选取 , 我们称这个上同调类为 Euler 类并记作 . 下面我们再来看一个结果 .
命题6：设 是 上的另一个度量 , 是任意一个保持度量 的联络 , 是联络 的曲率 , 则存在一微分形式 使得 .
证明：对任意的 , 令 是 上的度量且由 所定义 , 而 是保持度量 的 Levi-Civita 联络以及 是联络 的曲率 .
根据《Chern-Weil 理论(第九篇第1部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Berezin 积分》一文中的命题2和 Bianchi 恒等式可知 , 并结合上面提及的 Euler 形式的定义 , 故有
于是就得到了
其中 , 因此命题得证 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] V.Mathai , D.Quillen . Superconnections , Thom classes and equivariant differential forms .
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