我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第十二篇 , 主要内容是关于 Gauss-Bonnet-Chern 定理的历史注记 ，原文源于20世纪最伟大的数学家陈省身先生(按辈分算是小编的曾祖父)的文章《Historiacl Remarks on Gauss-Bonnet》, 我们的翻译是在保留原文的基础上进行适当的补充和修改 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！

 Gauss-Bonnet-Chern 定理的历史注记

设 是 维定向流形 , 为 上由某个分段光滑曲线 围成的紧致区域 , 则 Gauss-Bonnet 公式表示为

其中 是 的 Euler 示性数 , 上式左边各项分别是各个转角的外角和 , 测地曲率的积分和 Gauss 曲率的积分 , 它们分别表示点 , 线 , 面的曲率 , 于是 Gauss-Bonnet 公式是以拓扑不变量来表示全空间的曲率 , 它的特殊情形是 Euclid 平面内的直边三角形的转角和定理 .

我们会在本文中给出 Gauss-Bonnet 公式的形式基础 , 包括切圆周丛 , Levi-Civita 联络以及超渡形式 , 而 Gauss 对于嵌入  Euclid 空间的曲面上的测地三角形证明了 Gauss-Bonnet 公式是成立的 , 主要利用的工具 Gauss 映射 . 同时我们也会在本文中给出若干历史注记 , 以及我们会考虑 Gauss-Bonnet 公式在 Finsler 曲面上的推广问题 , 这些结果来源于 C.Landsberg 且可以由 E.Cartan 关于 Finsler 平面几何的推导直接得出 .

1.曲面论的回顾

设 是一 维定向 Riemann 流形 , 是它的单位切向量构成的圆周丛 , 于是投射 将向量 映为 , 此时 可以等同于 上的正交标架丛 , 只需令 和 即可 , 其中 是将 按照右侧定向旋转 度而成 , 再令 和 分别是 和 的对偶余标架 , 它们是从 拉回到 上的线性微分形式 .

下面来局部地考虑 , 取标架场 以及它们的对偶标架场 , 则有

其中 是 处的纤维的坐标 , 接下来对上面的第三式和第四式两边取外微分 , 则有

令 , 我们得到基本方程 和 . 事实上这些方程完全确定了 , 由于 和 在 上是整体定义的 , 故 也是整体定义的 , 于是得到

称为联络形式 , 而 则表明这个联络形式的外微分在 上 , 它在纤维上的限制是 , 即为角坐标的外微分 , 于是 是 在 上的一个延拓 , 鉴于它的外微分在 上 , 我们称这样的一个构造为超渡形式 , 超渡形式就是证明 Gauss-Bonnet 定理的关键 , 事实上只要在投射向量丛 上取一个带有恰当奇点和边界的截面 , 并对 应用 Stokes 定理就行了 , 遗憾的是这个联络形式并不为 Gauss 和 Bonnet 所了解 .

现在设 是 维 Euclid 空间 中的浸入曲面 , 则可以将 视为 中的向量且满足 , 记 为法向量 , 于是得到

其中上面方程组的系数构成一个反对称矩阵 , 毕竟 是单位正交向量 , 对 两边取外微分然后代入上面的方程组后得到

上式中前两式就是之前所提到的基本方程 , 它们将 Levi-Civita 联络和由正交投影所得到的联络等同起来 , 既然如此 Levi 和 Civita 在处理高维情形时应用了这个结论 , 进而由外代数的 Cartan 引理可知 , 上式中第三个式子给出了下面的结果

其中 , 因此二阶微分形式

称为第二基本型 . 进一步还可以得到

上式中的第一式我们称之为 Gauss 方程 , 随后再由 , 和 就得到了

这就是绝妙定理(Theorema Egregium) , 而上式中的第二式和第三式便被称为 Codazzi 方程 , 它有一个十分有趣的几何解释 , 我们考虑交换图表

这里的 是由 所描述的单位球面 , 而 是 Gauss 映射 , 它将 映为它的单位法向量 , 而 是 在 中的平移定义 , 为浸入 内的曲面 , 如果我们把 看作 Riemann 流形且度量为 , 那么由方程 和 表明它的联络形式为 , 以及通过方程 表明它的 Gauss 曲率为 , 因此 Codazzi 方程则说明了 上的联络是单位球面上的标准联络通过 Gauss 映射的拉回得到的 .

虽然我们一直在讨论经典曲面理论 , 但我们处理问题的方式侧重于微分形式和单位切丛 , 这些微分形式在自然的映射下被拉回或推前 , 而这个方法的精妙之处在于我们不必过分关心这些微分形式定义在具体某个空间上 , 这必须借助几何背景才能清楚 , 特别地联络形式 是很重要的微分形式怎么强度都不过分 , 它可以用来解决 Bonnet 的一个古老问题 , 更详细的内容可以参考《S.Chern , Deformation of surfaces prescrving principal curvatures》 .

2.Gauss 和 Bonnet 等人的贡献

Gauss-Bonnet 公式

对于测地三角形的情形是在《C.F.Gauss , Disquisitiones generales circa superficies curvas》一文中给出 , 后来 Bonnet 在《O.Bonnet , Memoire sur la theorie generale des surfaces》一文中把它推广到了任意单连通区域 , 这里的曲面主要指的是浸入 内的曲面且使用的主要工具是 Gauss 映射 , 故绝妙定理起着关键的作用 . Bonnet 也指出这个推广是十分自然的 , 毕竟边界曲线可以由测地多边形来逼近 , 当然这样的推广同一时期也由 Binet 独立得到 .

如果 Gauss-Bonnet 公式中的边界曲线是任意曲线 , 那么我们可以将这个结果推广到更一般的区域 , 而对于闭曲面则有 , 其中左边是 Gauss 曲率的积分 , 它其实就是 Gauss 映射的次数 , 右边的结果则是用 的拓扑不变量 Euler 示性数表示出来 . 最开始这个结果是通过曲面上的某组方程的 Kronecker 特征得到的且由 Walter Dyck 在《W.Dyck Bearage zur Analysis Situs》一文中给出 , 当然我们也可以在 Blaschke 的《W.Blaschke , Vorlesungen Über Differentialgeometric》一书中找到一个漂亮的论述 .

公式 使得曲率积分 , 向量场的指数和以及 Euler 示性数之间是等价的 , 主要原因是应用单位切丛来取代 Gauss 映射 , 这是后来 Chern 对于 维情形下证明的一个特例 , 但这个想法即使对于 而言也是全新的 .

3.Finsler 曲面和 Landsberg 曲面

在坐标 下 , 作为 维流形的 Finsler 曲面是基于积分 , 其中 以及 满足某些一般性条件 , 而 Riemann 曲面是在

在 的投影切丛 上 , 构成一个局部坐标系且由形式 相差一个因子来定义 , 为了研究 Finsler 曲面的局部几何 , 我们令 和 , 再由 给出 , 于是微分形式 在 上是内蕴定义的 , 我们称其为 Hilbert 不变积分 .

根据微分形式 , 我们可以得到 , 如果将它改写为 的形式 , 那么有

然后我们假定 , 则有 , 但是 是由相差一个含有 的被加项而定义的 , 于是我们可以恰当地选取这一项就有 , 进而我们在 上内蕴整体地定义了微分形式 且它们处处线性无关 , 同时满足 和 , 这就是局部 维 Finsler 几何的基础性结果 .

然后对 两边取外微分便得到 , 故 含有 为一个因子 , 于是便有 , 因此下面的三个方程

就是 Finsler 曲面的基本方程 , 其中 是三个在 上定义的局部不变量 .

对于 上的函数 , 定义它们的协变导数为 , 对 Finsler 曲面的基本方程中的第二式和第三式取外微分就能得到 和 . 沿着一曲线有 且 给出它的测地曲率 , 故 是测地线方程 , 在一点上则有 且对 的积分给出角度 .

事实上我们很容易就证明了 刻画的是 Riemann 流形 , 即使要计算 , 其实也是计算 同时忽略含有 的项即含有 的项 , 那么我们可以得到 , 于是 当且仅当 是关于 的二次多项式 , 此时就回到了本文第一部分的那些结果 .

最后由 可知 , Gauss-Bonnet 公式对 的情形时仍成立 , 这个时候满足情形的曲面称为 Landsberg 曲面 , 它们由 Landsberg 在推广 Gauss-Bonnet 公式的时候引入的 , 在一般的 Landsberg 曲面上 , 微分形式 是在底流形上的 , 但与 Riemann 曲面不同的是 , 单独的因子 和 只有在 上有定义 , 因此这个结果表明在 上没有面积元 .

参考文献：

S.S.Chern , Histroical Remarks on Gauss-Bonnet . 

您的点赞与关注是我们坚持不懈的动力 (点开名片进行关注）：

由于微信平台算法改版，公号内容将不再以时间排序展示，如果您想第一时间看到我的推送，强烈建议星标我的公众号。星标具体步骤为：在公众号主页点击右上角的小点点，在弹出页面点击“设为星标”，就可以啦。感谢您的支持！