按照欧几里得《几何原本》，或希尔伯特《几何基础》德文第七版设定的公理体系，欧氏空间由点构成，具有直线和平面结构，满足相应公理。
欧氏空间的(自由)向量定义为有序点对的等价类，这里的等价关系是所谓“平行四边形关系”；欧氏空间 的全体向量构成向量空间 (详见本公众号文章"什么是向量")。
定义欧氏空间的仿射变换是欧氏空间到自身的连续双射，把直线映为直线，平面映为平面，保持平行性，且保持任意共线三点的仿射比(有向线段之比)不变。
(二)仿射变换诱导的向量映射
设 是仿射变换。
我们定义 诱导的向量映射
为此，任取向量
任取点 则存在唯一点 使得
我们希望定义
这样，我们能够定义向量映射 使得对于任何 有
则有 使得
又有 使得
任取 则有 使得
则存在直线 上的点 使得
从而有
利用线性代数知识，可以知道：
诱导的线性映射 是满射，从而是线性同构。
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