写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第四篇汇总 , 主要内容是示性类 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！

示性类

从本文开始我们将借助 Chern-Weil 理论给出一些在几何和拓扑方面的重要的示性类 .

设 是光滑定向闭流形 上复向量丛 的联络 , 而 是联络 的曲率 , 那么与联络 相联系的全 Chern 形式 定义为

其中 是 的恒等自同态 .

由于

以及 和 具有下面的幂级数展开式

故可以根据《Chern-Weil 理论(第三篇汇总)：Chern-Weil 定理》中的示性式与示性类的定义可知 , 为一个示性式 , 而和它相应的上同调示性类就是 的全 Chern 类 , 并记作 .

注意到 的定义 , 则对于全 Chern 形式可以有如下分解

其中 和 , 此时我们称 为与 相联系的第 个 Chern 形式 , 然后就可以得到相应的上同调示性类 , 我们称为 的第 个 Chern 类 .

如果将下面的式子

改写为

那么我们借助上面提到的 的幂级数展开式就可以知道 , 对于任意整数 , 可以表示为某些 的乘积的线性组合 . 因此这也建立了 Chern 类在复向量丛示性类中的基本的重要性 .

2.实向量丛的 Pontrjagin 形式和 Pontrjagin 类

现在设 是 上的一个实向量丛 , 是向量丛 的联络 , 是联络的曲率 , 这里的实向量丛上的联络定义与《Chern-Weil 理论(第二篇汇总)：光滑流形上的超向量丛理论》一文中复向量丛上的联络的定义是相同的 , 只需要将 -线性替换为 -线性即可 . 接下来我们除了将复系数转化为实系数以外 , 对于实向量丛上的联络 , 则可以与《Chern-Weil 理论(第二篇汇总)：光滑流形上的超向量丛理论》和《Chern-Weil 理论(第三篇汇总)：Chern-Weil 定理》两篇文章作比较后进行类似的讨论 , 另外还有相应的 Chern-Weil 定理 , 则有着和《Chern-Weil 理论(第二篇汇总)：光滑流形上的超向量丛理论》一文中的定理3完全相同的叙述和证明 .

类似于复向量丛上的 Chern 形式 , 我们可以定义与 相联系的全 Pontrjagin 形式如下

而与之相应的上同调示性类 称为全 Pontrjagin 类 .

显然对于全 Pontrjagin 形式有如下分解

其中对于所有的 , 有 , 于是我们称 是与联络 相联系的第 个 Pontrjagin 形式 , 然后就可以得到相应的上同调示性类 , 我们称为 的第 个 Pontrjagin 类 .

与前面关于复向量丛的  Chern 形式和 Chern 类最后的讨论一样 ,  Pontrjagin 类在实向量丛示性类中也具有基本的重要性 . 最后我们如果考虑实向量丛 的复化 , 那么 的 Pontrjagin 类与 的 Chern 类之间有如下关系 , 即对任意的整数 , 有 , 这通常被用来作为 Pontrjagin 类的定义 .

事实上 Chern 类 , Pontrjagin 类以及模 系数的 Stiefel-Whitney 类都是常见的示性类 , 是由我国的数学家 WJ Wu 首次提出的 , 详细内容可以参考《W.Wu , Sur les classes caractéristiques des structures fibées sphériques》 .

3. -示性类 , -示性类和 -示性类

本文开始我们将介绍一些对于流形上的切丛而言具有特殊重要性的示性类 , 包括 -示性类 , -示性类和 -示性类 , 它们是由 Hirzebruch 首先提出的 , 更详细的内容可以参考《F.Hirzebruch . Topological Methods in Algebraic Geometry》 .

我们首先讨论 -示性类 , 它与函数 相联系 , 设 为光滑闭流形 的切丛 上的一个联络 , 而 为联络 的曲率 , 则联络 的 -形式 定义为

然而相应的上同调示性类为 , 称为切丛 的 -示性类 .

当 为一闭的定向流形时 , 由下面定义的示性数

称为 的 -亏格 . 作为特例 , 当 时有 . 事实上 -示性类的重要性在于 Hirzebruch 符号差定理 , 该定理表述为当 为一闭的定向流形时 , -亏格 等于 的符号差 , 特别地 是整数 .

关于流形 的符号差我们作出如下定义 , 对于 维闭的定向流形 , 定义了 上的一个自然的对称二次型 , 此时 的符号差 为该二次型 的符号差 , 如果 不能被 整除 , 那么定义 的符号差为零 .

像 这样的示性数的整性是非平凡的 , 有时我们甚至会应用到在流形的切丛 上定义的 -示性式 , 即

而相应的上同调示性类为 .

接下来讨论另一个重要的示性类为 -示性类 , 它与函数 相联系 , 则联络 的 -形式定义为

而相应的上同调示性类为 . 当 为一闭的定向流形时 , 由下面定义的示性数

称为 的 -亏格 . 作为一种特殊情形 , 当 时有 , 于是就可以得到当 时 .

然后讨论带有自然定向的 维复流形 的全纯切丛 上的 -示性类 , 它与函数 相联系 , 设全纯切丛 上的任意一个联络为 , 而 是联络上的曲率 , 则联络 上的 -形式定义为

而相应的上同调示性类为 . 当 为一闭的定向流形时 , 由下面定义的示性数

称为 的 -亏格 .

由 Borel 和 Hirzebruch 的一个定理可知 , 如果 是闭的 -流形 , 那么 也是整数 , 此外当 时 Atiyah 和 Hirzebruch 证明了一个更精细的结果 , 即 为偶数 , 再结合 , 便可以得到 Rokhlin 定理 , 即 维光滑闭的 -流形的符号差可以被 整除 . 更多关于 -流形的内容可以参考《H.BLawson , M.L.Michelsohn , Spin Geometry》 . 而对上面的一些定理的证明是纯拓扑和间接的证明 , 事实上在寻找这些整性定理更合理和更直接解释的尝试就导致了著名的 Atiyah-Singer 指标定理 . 另一方面 , 上面的 Rokhlin 定理的高维版本的推广最早是由 Ochanine 给出的 , 他证明了维数为 的闭的光滑 -流形的符号差可以被 整除 , 后来 K.Liu 又给出了该结果的一个新的证明 , Liu 利用了椭圆亏格 , 尤其是涉及到了一个可以将 推广到任意维数的消去公式 , 这个消去公式在 维情形下则是由 Alvarez-Gaume 和 Witten 首先发现的 , 后来 F.Han 和 W.Zhang 又把上述结果推广到了 -流形的情形 .

4. -群和 Chern 特征

本文我们回到复超向量丛的情形 , 仍然令 是紧致光滑流形 上的复超向量丛 , 同时 是 上的 -线性联络 , 是联络 上的曲率 , 而 和 分别是 和 上的联络 , 注意到 是 上的一个超联络 , 那么与 相伴的 Chern 特征形式定义为

然而相应的上同调示性类为 , 称为 的 Chern 特征 .

事实上 Chern 特征的另一个定义是将 表示为

则有 , 上式中的系数对于得到整性的结果十分有必要 .

Chern 特征的重要性体现在它与紧致光滑流形 的 -群之间的密切联系中 , 关于 -群或 -理论的内容可以参考《M.F.Atiyah , -theory》 . 众所周知 , 如果 和 是紧致光滑流形 上的两个复向量丛 , 那么可以构造 和 的 Whitney 直和 作为 上的向量丛 , 于是在每一点 处的纤维 是纤维 和 的直和 . 根据 Chern 特征的定义 可知 , 如果 和 是紧致光滑流形 上的两个复向量丛 , 那么显然有

我们令 为 上全体复向量丛构成的集合 , 则在 Whitney 直和运算的意义下 成为一个交换半群 . 然后我们在 中引入一个等价关系 , 即如果存在紧致光滑流形 上的复向量丛 使得 同构于 , 那么两个复向量丛 和 彼此等价 , 于是 在该等价关系下的商空间 仍然是交换半群 . 然后 Atiyah 和 Hirzebruch 就给出了紧致光滑流形 上的 -群 为 , 而它的群结构是由上面的交换半群点则诱导出来的 , 从而根据 可知 , Chern 特征可以自然地扩张同态 , 而这个同态的重要性就可以用来描述 Atiyah 和 Hirzebruch 的一个结果 , 即对于闭的定向流形 , 如果忽略 -群 中的挠元素 , 那么诱导同态 就成为一个同构 .

另一方面 , 与整性有关的结果可以推广为系数为复向量丛的情形 , 对于任意偶数维的闭定向流形 上的任意复向量丛 , 示性数 是整数 , 对于任意偶数维的闭定向 -流形 上的任意复向量丛 , 示性数 是整数 , 更多的结果可以参考《M.F.Atiyah , F.Hirzebruch , Riemann-Roch theorems for differentiable manifolds》.

事实上这里面所有与整性有关的结果都 Atiyah-Singer 指标定理的特例 . 利用本文所定义的 Chern 特征形式 , 可以将前面的所涉及的 Alvarez-Gaume 和 Witten 在 维情形下的公式改写为

如果 为闭定向流形 上的一个闭 -形式 , 那么前面所涉及的 F.Han 和 W.Zhang 在维数为 的 -流形情形的推广的结果为

其中 和 则是相应闭的定向流形的切丛 和 上的某个 Riemann 度量的 Levi-Civita 联络 , 而 则表示复切丛 .

5. Chern-Simons 超渡形式

现在开始我们正式考察《Chern-Weil 理论(第三篇汇总)：Chern-Weil 定理》一文中的超渡公式 , 即

中的右端出现超渡项 , 通常我们称为 Chern-Simons 超渡形式 . 在许多情形下这一项是一个闭微分形式 , 从而给出 中的一个上同调类 , 一个比较经典的例子就是 和 为平坦联络 , 即曲率 和 均为零的情形 , 还有另外一个典型的例子就是 维定向光滑紧致流形 上的切丛即 , 事实上虽然我们在《Chern-Weil 理论(第三篇汇总)：Chern-Weil 定理》一文中仅对于复向量丛的情形证明了上面的超渡公式 , 但我们仍可以不加任何改动地对于实向量丛的情形进行证明此公式 .

回想一下来自 Stiefel 的一个比较经典的结果 , 即一个 维定向光滑紧致流形 的切丛 是拓扑平凡的 , 故我们可以选取 的一个固定的整体截面基 , 然后对任意截面 则可以表示为 , 其中 是 上的光滑函数 . 令 是切丛 上的联络且满足 , 于是 上的任意联络 就可以改写为 , 这里 为 上的另一个联络 . 对任意的 , 我们令 并且取 , 由于维数的原因 , 超渡项 是闭的微分形式 , 于是就有

在相差一个常数的情况下 , 上面的闭 -形式就是 Chern-Simons 形式 , 而 Chern-Simons 形式广泛出现在拓扑 , 几何以及数学物理众多领域中 , 更多相关内容可以参考《S.S.Chern , J.Simons , Characteristic forms and geometric invariants》 .

参考文献：

[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .

[2] S.S.Chern ,  J.Simons , Characteristic forms and the geometric invariants .

[3] S.S.Chern , Geometry of characteristic classes .

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