写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第十篇第二部分 , 主要内容是讨论一下 Gauss-Bonnet-Chern 定理的原始证明 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
Gauss-Bonnet-Chern 定理的原始证明
2.Gauss-Bonnet-Chern 定理的原始证明
本文我们来叙述 S.S.Chern 对《Chern-Weil 理论(第十篇第1部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理的证明》一文中的
一式的原始证明 , 且由上式以及 Poincaré-Hopf 指标公式和 Stokes 公式便可证明《Chern-Weil 理论(第十篇第1部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理的证明》一文中的 Gauss-Bonnet-Chern 定理 .
令 为切丛 的单位球丛 , 此时 构成单位球丛 上 的具有单位长度的截面并记为 , 再令 均为单位球丛 上 的局部定义的截面 , 使得 构成单位球丛 上 的一个定向标准正交基 . 对于任意整数 , 我们设 是单位球丛 上局部定义的 -形式即 , 而 是单位球丛 上局部定义的 -形式 , 故可以得到 , 于是对上式两边作外微分就可以得到 Bianchi 恒等式的局部形式 , 即
下面我们参考《S.S.Chern , On the curvatura integra in a Riemannian manifold》一文 , 对满足 , 定义
同时规定 . 我们可以直接得到 和 不依赖于 的选取 , 从而 和 均是定义在单位球丛 上的整体微分形式 , 于是得到
另一方面由 可知 , 现在我们在上式中代入
后同时注意到 是单位球丛 上的整体微分形式 , 于是涉及局部定义的 的项彼此抵消 , 其中 , 事实上对任意的 , 则可以在点 附近构造出 使得对于 有 , 经过一番计算后我们得到
然后我们定义
因此得到单位球丛 上的超渡公式 , 这就是《Chern-Weil 理论(第十篇第1部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理的证明》一文中的
最后我们再来作一些补充说明 . S.S.Chern 关于 Gauss-Bonnet-Chern 定理的原始证明过程中除了引入超渡的观念以外 , 还是首次利用内蕴定义的球丛来解决现代几何学中的重要问题 , 尽管 Mathai 和 Quillen 借助 Thom 形式的几何构造给出了 Chern 超渡公式的一个合理解释 , 但如何构造出 和 , 特别是它们如何出现在 Chern 超渡公式中 , 我们仍然知之甚少 .
关于 Gauss-Bonnet-Chern 定理还有一个是由 Patodi 给出的热核证明 , Patodi 的证明是利用超空间和超迹的语言进行处理的 , 另外 Witten 还给出了 Poincaré-Hopf 指标公式的一个解析证明 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] S.S.Chern , On the curvatura integra in a Riemannian manifold .(该文献可以直接扫码下载)
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