写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第五篇 , 主要内容是叶状结构的 Bott 消灭定理与绝热极限下的 Bott 联络 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
Bott 消灭定理与 Bott 联络
1.叶状结构的 Bott 消灭定理
作为 Chern-Weil 理论的一个应用 , 本文我们讨论由 Bott 提出的关于叶状结构的消灭定理 .
设 是一个光滑流形以及 为切丛 的一个子丛 , 如果对于 的任意两个光滑截面 , 它们的 Lie 括号仍为 的截面即 , 那么称 为 的可积子丛 . 根据 Frobenius 定理可知 , 如果 是一个可积子丛 , 那么对于任意的 , 存在经过 点的一个极大子流形 使得 , 其中 则是由 确定的经过点 的叶片 , 如果 上存在一个可积子丛 , 那么称 是一个由 叶状化的空间 .
现在假设 是一个由 的可积子丛 叶状化的叶状空间 , 同时令 是 关于 的商丛 , 同时 为商丛 的 个 Pontrjagin 类 , 然后就可以叙述下面的 Bott 消灭定理了 .
定理1(Bott 消灭定理)：如果
那么在 中有
证明：为了使得论述变得简洁一些 , 我们选取切丛 上的一个 Riemann 度量 , 于是 关于 有直和分解 , 使得 和 关于 彼此正交 , 这里我们可以很容易得到 自然同构于 . 接下来令 是 上对应于 的 Levi-Civita 联络 , 和 分别为 在 和 上的限制度量 , 以及 是从 到 的正交投影 , 是从 到 的正交投影 , 此时有 和 , 那么可以得到 和 分别为 和 上的联络且分别具有度量 和 .
为了证明下面的式子成立
只需证明当 时 , 存在一个光滑形式 , 使得
于是我们就可以在 上构造一个新的联络 使得
其中 .
事实上 上的联络 称为 Bott 联络 , 它的定义如下 , 即对于任意的 和 , 如果 , 那么有 , 这是 Bott 联络的第一种情形 , 如果 , 那么有 , 这是 Bott 联络的第二种情形 . 事实上 Bott 联络的第二种情形是非本质的 , 而 Bott 联络的第一种情形的重要性体现在下面的引理 .
引理2：令 为联络 的曲率 , 对任意的 , 则有 .
证明：设 为 的任意截面 , 根据 Bott 联络的第一种情形可知
其中上面的最后一个等式来源于 Jacobi 恒等式以及 , 此时引理证毕 .
然后记 的对偶丛为 , 根据引理2可知
于是对于任意的整数 有
进而得到
注意到 , 故当 时 , 我们可以直接由
推出
进而再根据《Chern-Weil 理论(第三篇汇总)：Chern-Weil 定理》中的定理3—— Chern-Weil 定理可知
成立 , 因此定理1得证 .
2.绝热极限和 Bott 联络
从几何的观点来看 , 也是 上的一个自然的联络 , 事实上在绝热极限的意义下 , 联络 可以与 Bott 联络 联系在一起 . 更确切地讲 , 对任意的 , 定义切丛 上的度量为 , 令 是 的 Levi-Civita 联络 , 以及 和 分别为 在 和 上的限制 , 现在我们开始研究当 时 的行为 , 而取极限 的过程称为取绝热极限 .
根据 Levi-Civita 联络的一个标准公式可知 , 对任意的 和 有
注意到 是 上与 对偶的联络 , 即对任意的截面 , 有
令 和 , 这里的 为 上自然的诱导联络 , 于是可以得到 具有度量 .
下面我们来看一个十分重要的结果 .
定理3：对于任意的光滑截面 , 有 .
证明：对任意的 和 , 根据
和 可知 , 有
注意到上式的后三项彼此抵消 , 因此我们可以结合
和 就直接得到了
即 .
最后再来说明一下 , 如果对于任意的 有 , 那么称 容许一个 Riemann 叶状结构 , 更多详细内容可以参考《Ph.Tondeur , Geometry of Foliations》 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] R.Bott Collected Papers Volume 3：Foliations .
您的点赞与关注是我们坚持不懈的动力 (点开名片进行关注）：
由于微信平台算法改版，公号内容将不再以时间排序展示，如果您想第一时间看到我的推送，强烈建议星标我的公众号。星标具体步骤为：在公众号主页点击右上角的小点点，在弹出页面点击“设为星标”，就可以啦。感谢您的支持！
