我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第十一篇汇总 , 主要内容是关于 Gauss-Bonnet-Chern 定理的最后补充 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！

 Gauss-Bonnet-Chern 定理的最后补充

1.外代数上的 Clifford 作用

从本文开始 , 我们将利用 Quillen 的超联络理论给出 Gauss-Bonnet-Chern 定理的一个新的几何证明 . 下面我们将对外代数上的 Clifford 作用作一番详细的介绍 , 更多内容可以参考《N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators》和《Y.Yu , The Index Theorem and the Heat Equation Method》.

设 是一个 维实 Euclid 空间 , 是 的对偶空间 , 用 和 分别表示 生成的实的外代数和复的外代数 . 任意给定 上的一个 Euclid 度量 , 使得对于 中的向量 可以定义它的度量对偶 , 即对任意的 有 . 我们利用度量 , 我们可以定义向量 在实的外代数 上的两个 Clifford 作用 , 即 和 , 其中 和 分别是作用在外代数 上外乘算子和内乘算子 . 我们注意到对任意的 , 有

于是立马就得到了下面的引理 .

引理1：对任意的 , 有 Clifford 算子的运算关系式成立

事实上上面定义在实的外代数 上的两个 Clifford 作用可以自然地线性扩张到复的外代数 上 , 此时引理1仍然成立 .

下面我们再来看一个引理 .

引理2：设 是任意一组标准正交基 , 则 的线性映射全体构成的代数 由元素 和 生成 , 其中 .

证明：一方面我们引入记号 和 , 其中 和 , 而 和 为 的有序子集且满足 和 , 这里 , 特别地当 时规定 以及 . 根据外代数 上定义的两个 Clifford 作用可知 , 作用在 上的算子集 和 可以相互线性表示 .

另一方面 , 注意到外代数 作为向量空间 , 是它的一组线性基 , 而对任意的 , 则有

其中 表示有序子集 的元素个数 , 表示 在 中的有序补子集 , 且当 为 的偶排列时 , 当 为 的奇排列时 . 再由上面关于内乘算子与外乘算子的 Lie 括号 的定义式可知 , 算子 可由算子集 线性表示 , 于是 是由 线性张成 . 由于 , 故 构成 的一组线性基 , 进而 也是 的一组线性基 , 因此引理2得证 .

根据上面的引理2 , 我们可以得到 是由 复线性张成 . 而对于任意的 , 线性变换 在外代数 上的提升 是 的一个导子 , 我们称之为 -线性 , 且对任意的正整数 以及 , 有

其中 对任意的 和 成立 . 此时对于 的一组标准正交基 , 我们令 , 则在 中得到 的提升的表达式为

然后我们根据本文定义的 Clifford 算子就得到了外代数 中自然的偶 -分次或奇 -分次对应的超结构为

注意到上面关于超结构的表达式与 的标准正交基 的选取无关 , 然后我们来说明这个结论 . 事实上 Clifford 算子 生成 的一个子代数 , 而映射 给出了向量空间 与 之间的一个线性同构 , 从而 线性无关且为 的一组基 , 现在对于 的任意另一组标准正交基 有

其中 的选取是根据 与 是否具有一致的定向来确定 , 故得到 , 同理我们还可以得到 , 因此我们证明了 Clifford 算子 与 的标准正交基 的选取无关 .

设 是一个 维定向 Euclid 空间 , 其中 为偶数 , 则对于 的任意定向标准正交基 , 令 , 同理 的表达式与 的定向标准正交基的选取无关且满足 , 这表明 是复的外代数 的一个超结构 , 而相应的 -分次称为 上的符号差分次 . 再令 和 , 则有 , 而对任意的 , 有

这意味着 Clifford 算子 和 的作用是交换 中的奇 -分次或偶 -分次 , 而 是 维定向 Euclid 空间 , 只不过 的作用是交换 中的符号差分次 , 的作用是保持   中的符号差分次 .

引理3：在外代数 上有关于算子的迹的等式成立

证明：注意到当 即 时 , 显然有 , 故我们只需考虑 的情形 , 此时必定存在某个 或 , 使得

于是当 为偶数时有 . 而当 为奇数时 , 则必定存在某个 或 使得

此时同样有 , 因此引理3得证 .

最后利用《Chern-Weil 理论(第二篇汇总)：光滑流形上的超向量丛理论》一文中的定义3即超迹的定义式和本文引理1中的 Clifford 算子的运算关系式可知 , 实的外代数 或复的外代数 上的超迹计算可以归结为计算 , 从而再由引理3立马得到下面的推论 .

推论4：(i) 设 是一 维 Euclid 空间 , 则关于 中的奇 -分次或偶 -分次 , 下面的超迹的等式成立

(ii) 设 是一 维 Euclid 空间 , 其中 为偶数 , 则关于 中的符号差分次 , 下面的超迹的等式成立

2. Gauss-Bonnet-Chern 定理的另一个证明

设 是维数为 的闭定向流形 上的一个秩为 的定向实向量丛 , 其中 为偶数 , 任意给定 上的一个 Euclid 度量 , 则对于 的任意一个光滑截面 , 类似于上面提到的 Clifford 作用的表达式即 和 , 我们可以在复外代数丛 上定义逐纤维的 Clifford 作用 和 , 故我们得到 的定义不依赖于 的局部定向标准正交基 的选取 , 从而 良好定义了 上的符号差分次 .

设 是 的任意一个联络 , 而 是 在 上的自然提升联络 , 而 是 关于 的某一局部标准正交基 的联络矩阵 , 即有 , 则当复外代数丛 的关于 的对偶基 平凡化后 , 对于 的任意一个光滑截面 , 并利用本文给出的提升 的表达式 , 则提升联络 局部地表示为

上述关于提升联络的局部表达式对任意向量丛 上的实外代数丛或复外代数丛均成立 .

特别地如果 保持度量 , 那么该联络一定存在 , 于是就有 , 进而上式可以改写为

那么我们就设 保持度量 , 则可以断言对任意的 和 , 有

下面我们来证明这个断言 . 事实上对任意的 , 有

于是得到

对任意的 , 由对偶联络的定义和 的保度量性质可知 , 有

这样就得到了 . 另一方面 , 我们直接可以知道 是作用在 上的一个 次导子 , 即 是 -线性的 , 且对任意的 和 , 有

由于对任意的 , 有

故作为作用在 上的算子 , 有 , 因此我们便证明了断言是成立的 .

利用上面的断言 , 我们很容易就得到了对于保度量联络 , 诱导联络 保持 中的符号差分次 , 即 , 于是 是超向量丛 上的一个超联络 .

接下来我们计算超向量丛 的 Chern 特征形式 . 由于

其中 是诱导联络 的曲率 , 且它是曲率算子 在 上的提升 . 再次由本文给出的提升 的表达式可知 , 对于 的局部定向正交基 有

其中 . 由于联络 保度量 , 故 , 于是上式可以改写为

再将推论4的结论(ii)给出的给出的超迹公式代入上面的 Chern 特征形式 , 并考虑微分形式次数的计数就有

故根据《Chern-Weil 理论(第九篇汇总)：初探 Gauss-Bonnet-Chern 定理》一文中的 Euler 形式 的表达式可知 , 有 , 因此与三元组 相联系的 Euler 形式可以表示为

然后我们利用本文给出的超向量丛的 Chern 特征的 Quillen 超联络的构造式以及上式来给出 Gauss-Bonnet-Chern 定理的一个新的几何证明 .

假设 是一个 维定向闭的 Riemann 流形 , 其中 是偶数 , 而 是 上的的切丛 , 是与 上的度量 相联系的 Levi-Civita 联络 , 以及 是联络 的曲率 , 利用 的一个横截截面 , 对于 则定义具有符号差分次的复外代数 上的一簇超联络

根据《Chern-Weil 理论(第三篇汇总)：Chern-Weil 定理》中的定理3—— Chern-Weil 定理和上面提到的 Euler 形式的表达式可知 , 有

类似于《Chern-Weil 理论(第十篇汇总)：再谈 Gauss-Bonnet-Chern 定理》一文中关于 Gauss-Bonnet-Chern 定理的证明过程 , 我们在每个 的充分小的定向坐标邻域 上对向量场 和切丛上的度量 作相同的处理 , 即 和 , 从而根据推论4的结论(ii)给出的给出的超迹公式便得到了当 时有

最后根据《Chern-Weil 理论(第十篇汇总)：再谈 Gauss-Bonnet-Chern 定理》一文中的 Poincaré-Hopf 指标公式 , 我们再一次得到

这就再次得到了 Gauss-Bonnet-Chern 定理 .

3.Euler 类的 Chern-Weil 表示

设 是定向闭流形 上一个秩为 的定向实向量丛 , 其中 为偶数 , 任意给定 上的一个联络 , 一般地 , 上不一定存在 Euclid 度量 使得联络 保持度量 , 从而在《Chern-Weil 理论(第九篇汇总)：初探 Gauss-Bonnet-Chern 定理》和本文之前所构造的 Euler 形式在此情形下均不适用 , 然而我们注意到 在外代数丛 上的自然提升联络 总保持 中的偶 -分次或奇 -分次 , 这使得我们可以按照 Mathai 和 Quillen 利用 -丛构造 Thom 形式的想法 , 研究 上的拉回超向量丛 的 Chern 特征形式 , 进而得到 的 Euler 类 关于任意联络 的一个 Chern-Weil 表示 , 具体内容可以参考《H.Feng , W.Zhang , Flat vector bundles and open coverings》.

我们考虑拉回丛 的典则截面 , 即对任意的 有 , 给定 上的任意一个 Euclid 度量 且利用 上的拉回度量 , 就可以定义 在 上的 Clifford 作用

其中 .

对于 , 我们给出 上的一簇超联络

且满足

注意到对于每个 , 函数 沿向量丛 的纤维呈指数衰减以及 是关于 的以微分形式为系数的多项式 , 进而得到 上的微分形式为

而它沿向量丛 的纤维可积 , 因此

是 上的一个闭 次光滑微分形式 .

进一步上面的微分形式给出了上同调类 不依赖于 的联络 和度量 的选取 , 事实上任意给定 上的另一对联络 和度量 , 那么对于 , 有

分别为 上的一簇联络和度量 , 同样对于任意的 , 我们有提升联络 和 Clifford 作用 , 以及超联络簇 , 由于

故得到

现在设 是流形 上的一个微分形式 , 其中 , 同样 是 的任意一个保度量 的联络  , 对于任意的 , 选取 在点 附近的一个局部定向标准正交基 使得 , 且 中的向量 可以表示为 , 于是根据《Chern-Weil 理论(第九篇汇总)：初探 Gauss-Bonnet-Chern 定理》一文中的 Euler 形式 的表达式 , 以及推论4的结论(i)给出的超迹公式和本文给出的曲率 的表达式可知 , 并考虑微分形式次数的计数就有

进而得到

因此我们就得到了下面的定理 .

定理5: (i)设 是 维定向闭流形 上秩为 的定向实向量丛 , 任意给定 上的一个联络 和一个 Euclid 度量 , 则对于任意的 , 由 上的拉回超向量丛 上的超联络

所定义的 上的 次闭微分形式

是 的 Euler 类 的一个 Chern-Weil 表示 , 即

(ii) 当 时我们有

如果联络 保持度量 , 那么有

特别地对于另一个保持度量 的联络 , 根据

我们便得到了 , 这就再次证明了《Chern-Weil 理论(第九篇汇总)：初探 Gauss-Bonnet-Chern 定理》一文中的命题6 .

另一方面定理5还可以用来研究与流形上一般平坦向量丛的 Euler 类的相关问题 , 详细内容可以参考《H.Feng , W.Zhang , Flat vector bundles and open coverings》.

最后我们再来作一番补充说明 , 对于一个偶数维闭定向 Finsler 流形 , D.Bao 和 S.S.Chern 利用 Finsler 度量 确定的 Chern 联络 , 在 的单位球丛 上构造一个恰当 次微分形式 , 其中 为偶数 , 接下来利用 上具有孤立零点的向量场将那个 次微分形式作拉回就得到不含零点集的 上的一个恰当 次微分形式 , 然后就得到了一个由 Finsler 几何范畴的 Gauss-Bonnet-Chern 定理 , 详细内容可以参考《D.Bao , S.S.Chern , A note on Gauss-Bonnet theorem for Finsler spaces》. 事实上利用定理5 , H.Feng 和 M.Li 也得到了 Finsler 流形上的一个不依赖于任何向量场的 Gauss-Bonnet-Chern 定理 , 详细内容可以参考《H.Feng , M.Li , Superconnections and a Finslerian Gauss-Bonnet-Chern formula》, 这解决了 Y.Shen 在《Y.Shen , Several problems on Riemann-Finsler geometry》中的一个 Opening 问题 .

4.Thom 形式的 Chern-Weil 表示

在文章《V.Mathai , D.Quillen , Superconnections , Thom classes and equivariant differential forms》中 Mathai 和 Quillen 利用 维定向闭流形 上的秩为 的实向量丛 的保度量联络 , 给出了 的 Thom 形式的几何构造 .

现在我们根据定理5的思路 , 从 上的任意联络出发 , 几何地构造 的一个 Thom 形式 . 考虑直和向量丛 , 对任意的 有 , 令 为从 到第二个因子上的投射 , 即对任意的 有 , 这时经过投射 后全空间 可以作为 上的一个向量丛 . 一方面考虑拉回的复外代数丛 上的拉回联络 , 另一方面利用 上任意给定的 Euclid 度量 , 就可以定义一个拉回丛 上的 Clifford 作用 , 即对于任意的 有

其中 和 , 显然 Clifford 算子的作用是交换 中的偶 -分次或奇 -分次 , 那么根据引理1可知 , 有 , 故对于 , 就可以定义 上的超联络