我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第十一篇第三部分 , 主要内容是 Gauss-Bonnet-Chern 定理与 Chern-Weil 表示 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！

Euler 类与 Thom 形式的 Chern-Weil 表示

3.Euler 类的 Chern-Weil 表示

设 是定向闭流形 上一个秩为 的定向实向量丛 , 其中 为偶数 , 任意给定 上的一个联络 , 一般地 , 上不一定存在 Euclid 度量 使得联络 保持度量 , 从而在《Chern-Weil 理论(第九篇第3部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之超渡公式、欧拉形式和欧拉类》和《Chern-Weil 理论(第十一篇第2部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之另一个证明》两篇文章中构造的 Euler 形式在此情形下均不适用 , 然而我们注意到 在外代数丛 上的自然提升联络 总保持 中的偶 -分次或奇 -分次 , 这使得我们可以按照 Mathai 和 Quillen 利用 -丛构造 Thom 形式的想法 , 研究 上的拉回超向量丛 的 Chern 特征形式 , 进而得到 的 Euler 类 关于任意联络 的一个 Chern-Weil 表示 , 具体内容可以参考《H.Feng , W.Zhang , Flat vector bundles and open coverings》.

我们考虑拉回丛 的典则截面 , 即对任意的 有 , 给定 上的任意一个 Euclid 度量 且利用 上的拉回度量 , 就可以定义 在 上的 Clifford 作用

其中 .

对于 , 我们给出 上的一簇超联络

且满足

注意到对于每个 , 函数 沿向量丛 的纤维呈指数衰减以及 是关于 的以微分形式为系数的多项式 , 进而得到 上的微分形式为

而它沿向量丛 的纤维可积 , 因此

是 上的一个闭 次光滑微分形式 .

进一步上面的微分形式给出了上同调类 不依赖于 的联络 和度量 的选取 , 事实上任意给定 上的另一对联络 和度量 , 那么对于 , 有

分别为 上的一簇联络和度量 , 同样对于任意的 , 我们有提升联络 和 Clifford 作用 , 以及超联络簇 , 由于

故得到

现在设 是流形 上的一个微分形式 , 其中 , 同样 是 的任意一个保度量 的联络  , 对于任意的 , 选取 在点 附近的一个局部定向标准正交基 使得 , 且 中的向量 可以表示为 , 于是根据《Chern-Weil 理论(第九篇第3部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之超渡公式、欧拉形式和欧拉类》一文中的 Euler 形式 的表达式 , 《Chern-Weil 理论(第十一篇第1部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Clifford 作用》一文中的推论4的结论(i)给出的超迹公式和《Chern-Weil 理论(第十一篇第2部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之另一个证明》一文中的曲率 的表达式可知 , 并考虑微分形式次数的计数就有

进而得到

因此我们就得到了下面的定理 .

定理5: (i)设 是 维定向闭流形 上秩为 的定向实向量丛 , 任意给定 上的一个联络 和一个 Euclid 度量 , 则对于任意的 , 由 上的拉回超向量丛 上的超联络

所定义的 上的 次闭微分形式

是 的 Euler 类 的一个 Chern-Weil 表示 , 即

(ii) 当 时我们有

如果联络 保持度量 , 那么有

特别地对于另一个保持度量 的联络 , 根据

我们便得到了 , 这就再次证明了《Chern-Weil 理论(第九篇第3部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之超渡公式、欧拉形式和欧拉类》一文中的命题6 .

另一方面定理2还可以用来研究与流形上一般平坦向量丛的 Euler 类的相关问题 , 详细内容可以参考《H.Feng , W.Zhang , Flat vector bundles and open coverings》.

最后我们再来作一番补充说明 , 对于一个偶数维闭定向 Finsler 流形 , D.Bao 和 S.S.Chern 利用 Finsler 度量 确定的 Chern 联络 , 在 的单位球丛 上构造一个恰当 次微分形式 , 其中 为偶数 , 接下来利用 上具有孤立零点的向量场将那个 次微分形式作拉回就得到不含零点集的 上的一个恰当 次微分形式 , 然后就得到了一个由 Finsler 几何范畴的 Gauss-Bonnet-Chern 定理 , 详细内容可以参考《D.Bao , S.S.Chern , A note on Gauss-Bonnet theorem for Finsler spaces》. 事实上利用定理5 , H.Feng 和 M.Li 也得到了 Finsler 流形上的一个不依赖于任何向量场的 Gauss-Bonnet-Chern 定理 , 详细内容可以参考《H.Feng , M.Li , Superconnections and a Finslerian Gauss-Bonnet-Chern formula》, 这解决了 Y.Shen 在《Y.Shen , Several problems on Riemann-Finsler geometry》中的一个 Opening 问题 .

4.Thom 形式的 Chern-Weil 表示

在文章《V.Mathai , D.Quillen , Superconnections , Thom classes and equivariant differential forms》中 Mathai 和 Quillen 利用 维定向闭流形 上的秩为 的实向量丛 的保度量联络 , 给出了 的 Thom 形式的几何构造 .

现在我们根据定理5的思路 , 从 上的任意联络出发 , 几何地构造 的一个 Thom 形式 . 考虑直和向量丛 , 对任意的 有 , 令 为从 到第二个因子上的投射 , 即对任意的 有 , 这时经过投射 后全空间 可以作为 上的一个向量丛 . 一方面考虑拉回的复外代数丛 上的拉回联络 , 另一方面利用 上任意给定的 Euclid 度量 , 就可以定义一个拉回丛 上的 Clifford 作用 , 即对于任意的 有

其中 和 , 显然 Clifford 算子的作用是交换 中的偶 -分次或奇 -分次 , 那么根据《Chern-Weil 理论(第十一篇第1部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Clifford 作用》一文中的引理1可知 , 有 , 故对于 , 就可以定义 上的超联络

于是当 时全空间 上的微分形式 沿纤维指数衰减 , 进而用 表示微分形式 沿向量丛 的纤维的积分 , 因此对任意的 , 有

是 上的一个良定义的闭形式 , 且由 所决定的上同调类不依赖于 和参数 的选取 .

定理6：设 是一光滑闭 维流形 , 是一个秩为 的定向实向量丛 , 则对于 上的任意一个联络 以及任意 , 由

所定义的闭微分形式 是 的一个 Thom 形式且满足 .

证明：同理我们根据定理5的证明过程可知 , 只需考虑保持度量 的联络 , 故对任意的 , 选取 在点 附近的一个局部定向标准正交基 使得 , 而对任意的 有 , 此时我们有 和 , 于是根据《Chern-Weil 理论(第十一篇第1部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之 Clifford 作用》一文中的推论4的结论(i)给出的超迹公式和《Chern-Weil 理论(第十一篇第2部分)：Gauss-Bonnet-Chern 定理之另一个证明》一文中的曲率 的表达式可知 , 并考虑微分形式次数的计数就有

因此得到 .

最后我们令 为自然的嵌入映射 , 根据上面的定理3可知 , 为 的一个 Chern-Weil 表示 , 这就给出了定理5的另一个证明 .

参考文献：

[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .

[2] N.Berline , E.Getzler , M.Vergne , Heat Kernels and Dirac Operators .

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