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介质的电磁性质

1.什么是介质

本文我们讨论一下介质存在时电磁场和介质内部的电荷电流的相互作用 . 众所周知 , 介质由分子组成 , 分子内部有带有正电的原子核与绕核运动的带负电的电子 , 于是介质是一个带电的粒子体系且内部存在这不规则而又迅速变化的电磁场 , 因此在研究宏观电磁现象的时候 , 我们所讨论的宏观物理量是一个包含大数目微观分子的在物理上的极小体积内的平均值 . 由于分子是呈电中性的且在热平衡状态下各分子内部的粒子运动一般不具有确定的关联性 , 故当没有外场存在时介质内部一般不出现宏观的电荷电流分布 , 以及它的内部宏观电磁场也为零 , 而当有外场存在时 , 介质中的带点粒子受到场的作用 , 正负电荷之间发生相对位移 , 原来正负电中心不重合的有极分子的取向和分子电流的取向都呈现一定的规则性 , 即介质的极化和磁化 . 正因为有了极化和磁化 , 介质内部和表面上就出现了宏观的电荷电流分布 , 所以我们把这些电荷与电流成为束缚电荷与磁化电流 , 然后这些宏观电荷电流分布反过来又激发出附加的宏观电磁场 , 与原来的外场叠加后得到介质内的总电磁场 , 因此介质内的宏观电磁现象就是这些电荷电流分布与外部电磁场相互作用后的结果 .

2.介质的极化

目前存在两类电介质 , 一类介质分子的正电中心和负电中心重合 , 没有电偶极矩 , 另一类介质分子的正电中心和负电中心不重合 , 有电偶极矩 , 但由于分子热运动的无规则性 , 在物理上的极小体积内的平均电偶极矩为零 , 故也没有宏观电偶极矩分布 . 在外电场的作用下 , 第一类介质分子的正负电中心被拉开 , 第二类介质分子的电偶极矩平均具有一定的取向 , 进而两者都在宏观上出现电偶极矩分布 , 宏观上的电偶极矩分布我们用极化强度矢量 表示 , 它等于在物理上的极小体积 内的总电偶极矩与该极小体积的比值 , 即 , 其中 为第 个分子的电偶极矩 , 表示对 内的所有分子求和 .

由于介质内存在极化 , 分子正负电中心发生相对位移 , 故在物理上的极小体积 内可能会出现净的正电或负电 , 即出现宏观上的束缚电荷分布 , 接下来我们来讨论束缚电荷密度 和极化强度 之间的关系 .

上图中 , 设每个分子电偶极子由相距为 的一对正负电荷 组成 , 此时分子电偶极子的电偶极矩为 , 在介质内某曲面 上的一个面积元 上有一些分子电偶极子穿过 , 而当电偶极子的负电荷 位于体积 内时 , 同一个电偶极子的正电荷 就穿出界面 以外 , 如果单位体积内的分子数为 , 那么穿出 外的正电荷为

然后将上式对区域 的闭合界面 作积分后得到从 内通过界面 穿出的正电荷为 . 由于介质是电中性的 , 故 等于 内净的负电荷 , 我们称这种由于极化而产生的电荷分布为束缚电荷 , 如果我们用 表示束缚电荷密度 , 那么有 , 把上式右边的面积分转化为体积分 , 则可以得到上式的微分形式 .

非均匀介质极化后一般在整个介质内部都出现束缚电荷 , 而在均匀介质内 , 束缚电荷只出现在自由电荷附近或介质的界面处 , 现在我们来引入两种介质分界面上的面束缚电荷 . 如上图所示 , 设 为介质 和介质 分界面上的一个面积元 , 接下来在分界面的两侧取一个具有一定厚度的薄层使得分界面包含在薄层中 , 此时在薄层内出现的束缚电荷与面积元的比值称为分界面上的束缚电荷面密度 . 事实上通过薄层右侧面进入介质 内的正电荷为 , 而由介质 通过薄层左侧面进入薄层内的正电荷为 , 于是在薄层内出现的净电荷为 , 因此 , 其中 为分界面上由介质 指向介质 的法向单位矢量 , 由此可知 , 面束缚电荷并不是真正分布在一个几何面上的电荷 , 而是在一个薄层内的极化分子的效应 .

介质内的电现象包括两个方面 , 一方面是电场使得介质极化而产生束缚电荷分布 , 另一方面束缚电荷又反过来激发电场 , 两者相互制约 , 而在宏观上介质对电场的作用就是通过束缚电荷激发电场 , 因此在 Maxwell 方程组中电荷密度 包括自由电荷密度 和束缚电荷密度 , 于是有 , 然后将 代入上式后得到 , 引入一个辅助量 并定义为 , 我们称之为电位移矢量 , 进而有 .

在实际问题中 , 自由电荷是受到实验条件控制或观测 , 而束缚电荷则不是这样 , 我们虽然已经在上面的讨论过程中消去了束缚电荷 , 但却引入了电位移矢量 , 由此可知 的源是总电荷分布 , 它代表了介质中的总的电场强度 , 是电场的基本物理量 , 而 并不代表介质中的电场 , 它只是个辅助物理量 .

下面我们必须给出 和 的关系 , 注意到各种介质具有不同的电磁性质 , 则 和 的关系也存在多种形式 , 但对于一般各向同性的线性介质 , 极化强度 和 之间的关系为 , 其中 为介质的极化率 , 再代入 后得到

其中 为介质中的介电常数 , 为介质的相对介电常数 .

3.介质的磁化

介质分子内的电子运动构成微观分子电流 , 由于分子电流取向的无规则性 , 没有外磁场时一般不出现宏观电流分布 , 在外磁场的作用下分子电流会出现有规则的取向形成宏观磁化电流密度 . 分子电流可以用磁偶极矩来描述 , 如果把分子电流看作载有电流 的小线圈以及线圈的面积矢量为 , 那么分子电流的磁矩为 , 于是介质磁化后会出现宏观上的磁偶极矩分布并用磁化强度 表示 , 它定义为在物理上的极小体积 内的总磁偶极矩与该极小体积的比值 , , 其中 为第 个分子电流的磁偶极矩 , 表示对 内的所有分子电流求和 . 接下来我们来讨论磁化电流密度 和磁化强度 之间的关系 .

如上图所示 , 设 为介质内的一个曲面 , 其中边界为 , 如果要计算磁化电流密度 , 那么必须计算从 的一侧流向另一侧的总磁化电流 , 注意到只有当分子电流被边界 链环时才对磁化电流 有贡献 , 而在其它的情形下 , 要么分子电流根本不经过 要么从 的一侧流出后再从另一侧流入 , 这样的话对磁化电流 无贡献 , 因此通过 的总磁化电流 等于边界 上链环的分子电流的数目乘以每个分子上通过的电流 .

边界 上的一个线元 我们可以用上图表示 , 设分子电流线圈的面积为 , 如果分子电流线圈的中心位于体积为 的柱体内 , 那么该分子电流就被线元 穿过 , 当单位体积内的分子电流的数目为 时 , 则被边界 链环的分子电流数目为 , 这个分子电流数目乘以每个分子上载有的电流 后就得到了从 的一侧流向另一侧的总磁化电流

由于 , 故我们可以把线积分转化为面积分 , 则可以得到上式的微分形式 .

事实上除了磁化电流外 , 当电场变化时介质的极化强度 也会发生变化 , 这样就会激发产生另一种电流 , 我们称之为极化电流 . 设 内每个带电粒子的位矢为 且电荷为 , 则有 和 , 其中 是极化电流密度 , 磁化电流密度 和极化电流密度 之和是介质内的总的诱导电流密度 .

介质内的磁现象包括两个方面 , 一方面磁场作用于介质中的分子上产生磁化电流和极化电流分布 , 另一方面这些电流分布又反过来激发磁场 , 两者也是相互制约的 , 而在宏观上介质对磁场的作用则是通过诱导电流密度 激发磁场 , 因此在 Maxwell 方程组中的电流密度 包括自由电流密度 和介质内的诱导电流密度 , 于是有

在实际问题中 , 自由电流分布 是受到实验条件控制和测定 , 而 和 则不然 , 接下来我们将 和 代入上式得到

如果引入一个辅助量 , 那么定义磁场强度 , 于是得到 , 我们虽然已经在上面的讨论过程中消去了诱导电流中的磁化电流密度 和极化电流密度 , 但却引入了磁场强度 , 由此可知 描述的是所有电流分布所激发的磁场 , 它代表了介质内总的宏观磁场 , 是磁场的基本物理量 , 而 并不代表介质内的磁场 , 它只是个辅助物理量 .

下面我们必须给出 和 的关系 , 注意到对于各项同性的非铁磁性介质 , 磁化强度 和 之间的关系为 , 其中 为介质的磁化率 , 再代入 中得到

其中 为介质磁导率 , 为介质的相对磁导率 .

4.介质中的 Maxwell 方程组

从现在起 , 如果我们略去 和 的小标 , 那么我们以后我们直接用 和 表示自由电荷和自由电流分布 , 于是我们就有下面的介质中的 Maxwell 方程组

其中第二式和第三式我们已经在本文推出 , 至于第一式和第四式本来就是电磁场的内部规律 , 两个式子中只出现了场的基本物理量 和 , 与电荷电流没有直接关系 , 因此它们在介质中仍然成立 .

不过在实际问题中 , 除了 Maxwell 基本方程组外 , 我们必须引入一些关于介质电磁性质的关系式 , 包括 和 , 而在导体中还有 Ohm 定律 , 其中 为电导率 , 以上三个关系式称为介质的电磁性质方程 , 它们反映了各向同性的线性介质的宏观电磁性质 . 这里必须要说明 , 上面三个关系式只适用于某些介质 , 事实上还存在像晶体这样的各向异性的介质 , 在这些介质内某些方向容易极化 , 另一些方向不容易极化 , 这就导致了 和 一般具有不同的方向 , 它们之间的关系就不再是简单的线性关系式而是较为复杂的张量式 , 即在这些介质中 和 的关系为 , 其中 分别代表 分量 , 此时介质中的介电常数就不再是一个标量 而是一个二阶张量 . 然而在强场的作用下许多介质会呈现非线性的物理现象 , 此时 不仅与 的一次式有关 , 而且还和 的二次式三次式等均有关 , 进而在非线性介质中 和 的一般关系为

上式除了第一项以外 , 其余各项均为非线性项 . 至于铁磁性物质的 和 的关系也是非线性的而且还是非单值的 , 即某一个 值对应的 值依赖于磁化过程 , 一般用磁化曲线和磁滞回线来表示铁磁性物质的 和 的关系 .

参考文献和推荐阅读：

(1) 电动力学, by 郭硕鸿

(2) 经典电动力学, by John David Jackson

(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths

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