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电荷和电场

本文我们来讨论电场的基本规律 , 电场是和电流相互作用的 , 在正式讨论电场之前先来说明电荷分布规律 .

1. Coulomb 定律

Coulomb 定律表述为真空中静止的一个点电荷 对另一个点电荷 的作用力为 , 其中 是从 到 的径矢 , 是真空中的介电常数 . 事实上 Coulomb 定律是静电现象中的一个基本实验定律 , 它只是从现象中给出了两个点电荷之间作用力的大小和方向 , 并没有解释这个相互作用的物理本质 , 不过对于上面 Coulomb 定律的表达式可以有不同解释 , 一种观点是两个点电荷之间的作用力是直接的超距作用 , 即一个电荷把作用力直接施加在另一电荷上 , 另一种观点则认为是两个电荷之间的相互作用是通过电场来传递的 , 如果只局限于静电的情形 , 那么这两种观点是等价的 , 毕竟它们都给出了相同的计算结果 , 但我们无法从单纯的静电现象判断究竟哪一种观点是正确的 , 在运动电荷的情形下也别是电荷发生变化时 , 上面两个观点就显示出不同的物理结果了 , 后来证明两个电荷之间的相互作用是通过电场来传递的观点是正确的 .

电场这一概念的引入对电磁学甚至是电动力学的发展至关重要 , 事实上在现代物理学在关于场的物质形态的研究也占据重要的一席 . 既然我们已经把 Coulomb 定律视为描述电磁现象的一条普遍规律 , 那么我们必须从场的观点出发来讨论 Coulomb 定律背后蕴含的物理意义 . 设一个电荷周围存在电场 , 而另有一电荷处于这个电场内 , 它会受到这个电场对它的作用力 , 而对置于电场中的电荷有力的作用是电场的特征性质 , 于是我们就可以根据这样的性质来描述电场 . 由 Coulomb 定律可知 , 处于电场内的电荷 所受到的力与 成正比 , 故我们用一个单位试验电荷在电场中所受到的力来定义电荷所在的点 处的电场强度 , 此时电荷 在电场 中所受到的力为 , 因此根据 Coulomb 定律 可知 , 一个静止的点电荷 所激发的电场强度为 .

由实验结果可知 , 电场具有叠加性 , 即多个电荷所激发的电场等于每个电荷所激发的电场的矢量和 . 设第 个电荷 到场点 的矢径为 , 则点 处的总电场强度为 .

在很多情况下如果电荷连续分布于某一个区域 内 , 如上图所示 , 在 内的某一点 处去一个体积元 , 而在 内包含的电荷 等于在该点处的电荷密度 乘以体积元 , 即 , 设 为由源点 到场点 的矢径 , 则点 处的电场强度为 , 其中的积分遍及整个电荷分布区域 . 上式是静电场的电场强度分布的积分形式 , 为了进一步揭示相互作用在场中传递这样的特点 , 我们还需要进一步研究一个电荷与它相邻的电场之间是如何相互作用的 , 以及某点处的电场与它邻近的电场是如何相互联系的 , 即我们要得到静电场规律的微分形式 , 下面我们就从 Coulomb 定律出发来分析这些规律 .

2.Gauss 定理和电场的散度

我们先来讨论一个电荷与它邻近的电场的关系 , 众所周知 , 一个电荷 所发出的电场强度通量总是正比于 , 与附近是否存在其它电荷无关 , 这意味着一个电荷所激发的电场强度通量表示电荷对电场的作用的基本数量关系 . 设 是一个包围电荷 的闭合曲面 , 为 上的定向面积元且以外法向方向为正方向 , 则通过闭合曲面 的电场强度 的通量定义为 , 于是由 Coulomb 定律可以推出关于电场强度通量的 Gauss 定理为 , 其中 为闭合曲面内的总电荷 .

下面我们来证明 Gauss 定理 , 如上图所示 . 设闭曲面 内有一电荷 , 它所激发的电场强度 通过面积元 的通量为

其中 为 与 的夹角 , 为面积元投影到以 为半径的球面上的面积 , 而 为面积元 对电荷 所张开的立体角元 , 因此电场强度 通过闭合曲面 的通量为

如果电荷在闭合曲面外 , 那么它发出的电场线穿入该曲面后再穿出来 , 因而对该闭合曲面的电场强度通量没有贡献 .

在一般情形下 , 设由闭合曲面 包围的空间 内有多个电荷 , 则它们所激发的电场强度 通过任何一个闭合曲面的总通量等于 内的总电荷除以 , 而与 外的电荷无关 , 即

其中 在 内 , 如果电荷连续分布于空间 中 , 那么此时电场强度 通过闭合曲面 的通量为

其中 为闭合曲面 所包围的体积 , 上式右侧的体积分是 内的总电荷 , 为该体积内的电荷密度 , 进而得到电场强度 通过闭合曲面 的通量与 外的电荷分布无关 .

通过上面的讨论 , 我们已经知道 Gauss 定理的积分形式为 和 , 为了得到电荷与电场的局域关系 , 即在空间中无穷小区域内的关系 , 我们把 Gauss 定理的积分形式的左边的面积分变为体积分就得到 , 进而得到 Guass 定理的微分形式为 . Gauss 定理的微分形式是静电场的一个基本方程 , 它表明电荷是电场的源 , 电场线从正电荷发出而终止于负电荷 , 而在没有电荷分布之处 , 那么在该点处有 , 即在该处既没有电场线发出 , 也没有电场线终止 , 但可以有电场线连续通过 . 同时 Gauss 定理的微分形式反映电荷对电场的局域性质 , 即空间某点邻域上电场的散度只和该点处的电荷密度有关 , 而于其它地方的电荷分布无关 , 电荷只能直接激发邻近的电场 , 远处的电场则是通过电场本身的内部左右传递出去的 , 只有在静电的情形下 , 远处的场才能用 Coulomb 定律的形式来表述 , 而在一般运动电荷情形下 , 远处的场就不能再用 Coulomb 定律的形式来表述了 , 但通过实验可以证明 Gauss 定理的微分形式这一更基本的局域关系仍成立 .

3.Ampere 环路定理和静电场的旋度

毕竟散度只是矢量场一个方面 , 要确定一个矢量场 , 还需要给出它的旋度 , 而旋度反映的是场的环流性质 , 由于静电场的电场线分布没有漩涡状结构 , 故我们可以推测静电场是无旋的 , 下面我们用 Coulomb 定律来证明静电场是无旋场 .

如上图所示 , 一个点电荷 所激发的电场的电场强度 对任意一个闭合回路 的环量为 , 其中 为 的线元 . 根据 Coulomb 定律可知

设 与 的夹角为 , 则 , 于是上式转化为

对于函数 而言是一个全微分 , 从回路 的任意一点开始绕 一周后回到原来的点 , 函数的值不变 ,此时 , 进而有 , 这表明一个点电荷的电场的环量为零 , 而对于一般的静止的电荷分布 , 根据电场的叠加性 , 总电场对任意一个回路的环量恒为零 , 因此 对任意的静电场和任意一个回路均成立 , 这就是静电场的 Ampere 环路定理的积分形式 .

将 Ampere 环路定理 左边的线积分转化为面积分 , 就得到了 , 进而得到 Ampere 环路定理的微分形式为 , 这表明静电场是无旋场 , 事实上无旋性只有在静电场的情形下成立 , 一般情况下电场是有旋的 .

和 分别给出了静电场的散度和旋度 , 它们表示电荷激发电场以及电场内部联系的规律性 , 这是静电场的基本规律 , 它们所反映的物理意义是电荷是电场的源 , 电场线从正电荷出发而终止于负电荷 , 在自由空间中电场线连续通过 , 在静电情形下电场没有旋涡状结构 .

参考文献和推荐阅读：

(1) 电动力学, by 郭硕鸿

(2) 经典电动力学, by John David Jackson

(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths

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