写在前面：欢迎更多数学物理爱好者继续关注我们 ！我们本文主要包含两部分 , 首先是补充一个静电场的基本问题(即导体劈尖附近的电场和电势求解) , 然后是汇总一下从去年开始的所有有关经典电动力学的文章 ，该系列目前依然在完善中，敬请期待……
静电场的基本问题求解(补充篇)
今天我们补充一个电动力学的经典问题——静电场的基本问题 , 即满足给定边界条件的 Possion 方程的解 . 问题如下 , 导体劈尖带电势 , 试分析它的尖角附近的电场 .
我们采用柱坐标系并取 轴沿着劈尖 , 设劈尖以外的空间(存在电场的空间)为 , 其中 为一个极小的角度 , 由于 不依赖于 , 故柱坐标下的 Laplace 方程为
然后我们用分离变量法求解上述方程 .
设 为一个特解 , 则上面的 Laplace 方程可以变为下面两个方程
其中 为某些正实数或 , 解上面两个方程后得到通解为
上式的各个待定的系数和 的值由边界条件决定 .
在劈尖面 上 , 且与 无关 , 于是得到 , 以及 , 而当 时 有限 , 故得到 和 . 在另一个劈尖面 上也有 且与 无关 , 于是得到 和 , 进而 的可能值为 , 其中 , 综合上面这些边界条件 , 我们得到 的表达式为 . 事实上为了确定 , 还必须用某个大曲面包围电场存在的区域并给定这个曲面上的边界条件才行 , 这意味着这个静电场问题所给的条件是不完全的 , 还不足以确定全空间的电场 , 但我们仍然可以对尖角附近的电场作出分析 .
在尖角附近即 , 上面 的求和式的主要贡献来源于 的最低幂次项即 的项 , 因此 , 电场为
而两个劈尖面上的自由电荷密度为
但不论是哪一种情形最后的结果为 , 如果 很小 , 那么 , 即尖角附近的场强和自由电荷密度均正比于 , 故尖角附近可能存在很强的电场和电荷面密度 , 这表明三维情形下的针尖问题就可以用来解释尖端放电现象 .
参考文献和推荐阅读：
(1) 电动力学, by 郭硕鸿
(2) 经典电动力学, by John David Jackson
(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths
下面我们来汇总一下所有经典电动力学专题文章
电动力学(Electrodynamics)是电磁现象的经典的动力学理论 , 它研究电磁场的基本属性、运动规律以及电磁场和带电物质的相互作用 , 该系列目前包括静电场 , 静磁场和电磁波三部分 , 不含狭义相对论相对论部分和带电粒子与电磁场相互作用部分 . 以下是具体的文章 , 感兴趣的读者可以跳转阅读！
☆静电场部分
1.电动力学补充专题：静电场的标势和静电势的微分方程和边值关系
3.电动力学专题：分离变量法解 Laplace 方程(理论部分)
4.电动力学专题：分离变量法解 Laplace 方程(实例分析)
6.电动力学专题：从特殊静电场边值问题到一般静电场边值问题的过渡&推荐一套本科物理学的系列丛书
7.电动力学专题：Green 函数与一般静电场边值问题的求解(上篇)
8.电动力学专题：Green 函数与一般静电场边值问题的求解(下篇)
☆静磁场部分
4.电动力学专题：电荷体系在外电场中的电能和电流分布在外磁场中的磁能
7.现代超导物理学专题(二)：London 唯象理论与 Pippard 修正
8.现代超导物理学专题(三)：第二类超导体存在时磁场和超导电流分布的求解
☆电磁波部分
7.电动力学之波导中的 TE 波的电磁场和管壁电流&推荐三位物理博主
8.电动力学之电磁波的矢势和标势(上)——势的规范变换及其规范不变性
9.电动力学之电磁波的矢势和标势(下)—— d'Alembert 方程和平面电磁波的势的计算
10.电动力学之 d'Alembert 方程的求解——推迟势
11.电动力学之电磁场的辐射(1)——辐射场的计算公式和矢势的展开式
12.电动力学之电磁场的辐射(2)——电偶极辐射和短天线辐射
13.电动力学之电磁场的辐射(3)——磁偶极辐射和电四极辐射
15.电动力学之电磁波的衍射问题和 Kirchhoff 公式的推导
16.电动力学之 Kirchhoff 公式的应用——电磁波的小孔衍射
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