我们知道一个物体的转动动能为
其中ω为转动角速度的大小，I是物体沿着角速度方向的“转动惯量”。在大学的书本上，大部分情况处理的都是“定轴转动”（转动轴方向不变），但在更复杂的问题和实际情况中，转动轴的方向是改变的，所以为了便于计算每时每刻不同的转动惯量，引入一个“惯量张量”
其中的张量I是个3×3的矩阵，如果是定轴转动的情况，上式就退化成我们非常熟悉的J=Iω
那这个惯量张量具体等于什么呢？只要写出角动量的质点求和式就很容易看出
再把上面这个矢量式在坐标系中分解成3个标量式，并且整理成矩阵形式
上式就是惯量张量的具体表达式，注意这是个对称矩阵。
再代入最开头的第一个式子，得到
其中α、β、γ是角速度矢量在坐标系中的方向余弦。可以看出，如果我们选的坐标系是与刚体固连的“随动系”，那么惯量张量的各分量就是个常数，只不过在刚体转动的过程中，角动量方向不断变化（即上式的α、β、γ变化），所以上式随着刚体转动逐渐描绘出一个椭球，这个椭球就叫做“惯量椭球”。把该椭球画出来，就可以根据瞬时转轴的位置方便获得对应的转动惯量。
作为例子，这是一个矩形纸片的惯量椭球，图片源于本文作者
直观地看“惯量椭球”，它有3个对称轴，如果沿着这些轴建立随动坐标系，那么惯量张量的表达式就可以大大简化，简化为一个对角矩阵。这在线性代数中就是矩阵的对角化，而因为惯量张量是个对称矩阵，所以一定可以对角化。
本文完。
