在研一的《天体辐射》课上，老师讲PPT时直接给出了一个结果，但没说怎么来的，为了搞清楚在课后就自己算了算。（我打赌在今年的PPT上肯定还是直接给了这个结果）
有一个半径为R的球体，其内部每一处都向外发射着光子，其辐射强度分布是均匀各向同性的（也就是球体内辐射光子的速率处处相同，并且每处都是均匀地向四面八方辐射光子）。求光子在球体内逗留的平均时间（称为光子的平均逃逸时间）。
这个问题也是一个练习高等数学积分的好机会。
假设某一时刻产生了一批光子，就看这一批光子平均要用多久才可以离开球体的范围。
建立球坐标系{r,θ,φ}，球体中心为原点，设单位体积内的光子数量为ρ（即光子数密度），ρ与位置无关，是个常数。
在z轴上取一个小体元dV，在小体元dV处再建立一个坐标系{r',θ',φ'}，使z'轴与z轴重合，在小体元dV内有ρdV个光子，均匀地向四面八方飞去，其中有
个光子向着(θ',φ')方向的立体角dΩ'内飞去，根据余弦定理，可以得出这部分光子距离球体边界的长度为
所以这个方向的所有光子的逃逸时间之和为
其中c为光速。
所以小体元dV内所有光子的逃逸时间之和为（即对所有方向积分）
根据球体的对称性，整个球体内的光子的逃逸时间之和为
所以平均来说，每个光子的逃逸时间为
3R/4c！多么简洁的结果，如果有一个半径3厘米的这样一个球体，并且从外部测量这个球体光度L=13.5 J/s（单位是焦耳/秒，差不多是1只15瓦白炽灯的辐射功率，这里也考虑上了热辐射），那么就可以得到这个球体内部的辐射能量密度
也就是说，如果有这个大的一个该辐射球体，若其内部辐射能量密度约为100尔格每立方米，那么这个球体的辐射光度与一只15瓦电灯泡相当（这个例子没有什么深意，只是随便代入几个数值计算一下）。
本文完。
