由于狭义相对论的数学比较简单，所以本系列会详细地通过公式推导来介绍狭义相对论的内容。
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“介绍狭义相对论”系列往期回顾
“系列”的第一篇👇👇👇
徐虫虫1017，公众号：地球远征军介绍狭义相对论1—洛伦兹变换
下面开始本次的内容。
我们已经非常熟悉“欧几里得空间”，如果在3维欧氏空间中建立一个笛卡尔坐标系，记为Σ，再将该坐标系做一下旋转变换得到另一个笛卡尔坐标系Σ'（实际上，不光可以进行旋转，你也可以做平移变换），显然，空间中的两个点之间的坐标差可以用这两个坐标系分别表示出来
为了看着简洁，我们省略掉括号不写。ds²与ds'²其实就是两点之间距离的平方
而距离是个实打实的物理量，并不会因为人为选哪一个坐标系而改变，所以
我们称ds²为欧氏空间的“线元”，是个欧氏空间中的不变量。从数学上来讲，我们只要知道了一个空间的“线元”的具体表达式，我们就知道了这个空间的一切性质。比如我们知道了线元形式为ds²=dx²+dy²+dz²，就能确定这是一个欧氏空间。
现在我们把欧氏空间稍微扩张一点点，加上一个时间轴，现在我们有了4个坐标轴构成的坐标系Σ(t,x,y,z)，这个坐标系可以看成静止于地面的一个人所处的相对静止坐标系，t就是这个人手上戴的手表显示的时间。
现在有一个人以速度v朝着Σ的x轴方向运动，这个人所处的相对静止坐标系为Σ'(t',x',y',z')，我们已经知道这两个坐标系的坐标之间的关系为洛伦兹变换式
由上式可以很容易得出
看着是不是很眼熟！在这个新的空间中，ds²=-c²dt²+dx²+dy²+dz²是个不变量，我们把ds²=-c²dt²+dx²+dy²+dz²看作这个新的空间的线元，这个空间叫做“闵可夫斯基空间”，但由于包含了一个时间坐标和三个空间坐标，我们叫它“闵可夫斯基时空”。
ds²=-c²dt²+dx²+dy²+dz²就是闵可夫斯基时空的线元，并且就如之前所说，这个线元决定了闵氏时空的所有性质。这一点可能有点不让人信服，但作为一个非数学专业的学生，我们可以把信任交给告诉我们该结论的数学专业的人，我们自己也可以在多次计算中加强自己对这个结论的信心。
下面我们来看一下著名的“动尺收缩”、“动钟变慢”。
还是一个人（叫小明）站在地面上，相对静止坐标系为Σ(t,x,t,z)，小红朝着x轴正方向以速率v奔跑，小红的相对静止坐标系为Σ'(t',x',y',z')。对于小红来说，自己的手表在比如10:00嘀嗒了一下，在1秒后又嘀嗒了一下，在小红的坐标系中，可以写出这两次嘀嗒对应的线元
在小明的坐标系里来看，这两次“嘀嗒”对应的线元为
需要特别注意的一件事情是，其中的dt是小明所在坐标系“测量”到的时刻之差，而不是小明测量到的时刻之差。什么意思呢？想象在小明的坐标系Σ中，每一处地方都有一个和小明所戴的手表完全相同的时钟，这些密密麻麻（不要考虑买表需要钱，不差钱！）的时钟始终以相同的步调走动着，dt=t2-t1中的t1就是小红手表“嘀嗒”第一下时，小红在Σ系所处位置放置的那个时钟（与小明手表同步调）的读数，t2就是嘀嗒第二下时小红所处位置的时钟的读数（这个时钟肯定不是前一个时钟了，因为小红在Σ系中一直运动着）。
由线元的不变性，有
前面说，dt'代表小红手表嘀嗒两次对应的时间差，就比如直接看成是1秒，那么小明所在坐标系测得小红的手表嘀嗒这两下对应的时间差为dt=γdt'=γ秒，而γ总是大于0，所以在小明坐标系看来，小红的手表这1秒钟嘀嗒的时间有点长。这就是“动钟变慢”。
现在让小红拿着一把尺子，尺子平行于运动的方向（即x轴），小红测得这把尺子的长度为dx'。对于小明来说，如果要测量尺子的长度，必须做到同时测量尺子的两端，再根据线元的不变性，有
注意上式dt'并不是0，因为对于小明来说是同时，对小红可不是同时。而由洛伦兹变换又可以知道
你可能又有疑问，不是说只根据线元就能确定闵氏时空的性质吗？怎么又用上洛伦兹变换了？那是因为洛伦兹变换可以通过闵氏线元推出来，比如梁老的《微分几何入门与广义相对论》上册里，可以通过线元确定出killing矢量场，而每一个killing场对应一种坐标变换，其中就包括洛伦兹变换。
所以
小明所在坐标系测量的尺子长度dx确实小于小红测量的长度dx'，这就是“动尺收缩”。
这里采用线元讨论问题，是为了方便推广到弯曲时空，当然对于“尺缩钟慢”这种简单的计算，也可以直接由洛伦兹变换式得出来。
本文完。
