今天介绍一个特殊的矩阵，马尔科夫矩阵，它特殊在每一列加和等于1，根据这个特征可以用它来研究一些固定比例的变化问题。
比如有A、B两个地方，它们有各自的人口，但是每一年都会有80％的A地人留在A地，而剩余20％会迁往B地，对于B地，会有40％的人迁往A地，剩余60％留在B地，迁徙一次后，也就是一年后，两地的人口明显可以如下表示
A0与B0是开始时两地的人口，而A1、B1是一年后两地的人口。
假设每一年的迁徙比例都是固定的，我们可以很轻松的知道任意年后，两地的人口。
在上一篇讲述特征值与特征向量的文章中，讲述了用特征值与特征向量来处理递归函数的方法，而要知晓n 年后A、B两地的人口也是同样的递归问题。
我们依照上一篇文章的思路，可以得到以下关系
其中，S是系数矩阵的特征向量组成的矩阵，Λ是系数矩阵的特征值组成的对角阵，C是对特征向量取线性组合组成初始值矩阵的系数矩阵。
由此，我们就可以得到任意年的A、B两地人口数了。而且马尔科夫矩阵有一个性质，就是一定有一个特征值为1，而其它特征值都小于1。这个性质说明了什么？
注意，将上式展开写就是
从这个式子可以看出，当n趋于很大时，由于只有一个特征值等于1，而其它的特征值小于1，所以那些特征值小于1的项会趋于0，换句话说，这个式子n取无穷时的极限就是特征值等于1的那一项的值。在很多年后，A、B两地的人口会趋于固定，不再变化。
要计算多个地点之间的人口往来也是同样的道理，如下是显示五个地点A、B、C、D、E的人口变化趋势的程序
M=[0.6,0.01,0.05,0.01,0.02;...0.18,0.75,0.26,0.003,0.12;...0.1,0.15,0.42,0.02,0.25;...0.1,0.08,0.18,0.96,0.01;...0.02,0.01,0.09,0.007,0.6]; % 马尔科夫矩阵（系数矩阵），每列加和等于1u0=[6000;10600;3750;21000;2500]; % A、B、C、D、E五个地区的初始人口[S,L]=eig(M); % 计算马尔科夫矩阵的特征值与特征向量C=S\u0; % 计算系数矩阵CY=1:20; % 从第1年到第20年的范围mysize=size(Y);EachY_A=ones(mysize);EachY_B=ones(mysize);EachY_C=ones(mysize);EachY_D=ones(mysize);EachY_E=ones(mysize);for i=1:mysize(2)un=S*(L^(i-1))*C; % 特征值与特征向量表示的递归公式EachY_A(i)=un(1); % 将每一年，各地的人口保存到对应的矩阵中EachY_B(i)=un(2);EachY_C(i)=un(3);EachY_D(i)=un(4);EachY_E(i)=un(5);endplot(EachY_A); % 将五个地区的人口趋势显示在图像上hold onplot(EachY_B);plot(EachY_C);plot(EachY_D);plot(EachY_E);legend('A','B','C','D','E')hold off
以下是程序运行结果
可以看出各地的变化趋势，而每个地区的人口最后都会趋于一个稳态值，这是由马尔科夫矩阵的特征值的性质决定的，以下是上面程序中马尔科夫矩阵的特征值对角阵
确实是除了一个为1的特征值，其它的特征值都小于1，这是最后能趋于一个稳态的关键。
读者可自行寻找其他例子，尝试更高阶的马尔科夫矩阵的应用。
