经常听说“红移”这个词，我们知道，当遥远星系发出的光到达我们的地球时，已经发生了“宇宙学红移”，红移具体是多少可以由谱线测量得出，红移为多少也可以对应着之前的某个宇宙时刻。
但这些内容如何串起来呢？这次我们就从Robertson-Walker度规出发，把这些问题一一搞清楚。
James Webb，图片源于Webb Home | Webb (webbtelescope.org)
作者昨天结束了学生时代所有的课程（幼儿园、小学、初中、高中、本科、硕士博士研究生），昨天最后两节课的其中一节是空间望远镜的内容。课上经常讲，某某望远镜观测到红移为几的星系，然后这个星系的图像就是多少年之前的，当时就想找机会把这一个小知识点的内容整理一遍。下面开始
参考《微分几何入门与广义相对论》上册.梁灿彬&周彬.第十章:宇宙论
以下内容也借鉴了《星系天文学》老师课上用的课件
在宇宙各向同性参考系写出Robertson-Walker线元（自然单位制）
假设我们自己处于空间坐标系的原点，考察另一个空间坐标处于
的点，该空间点记为P点。
在t_0时刻，P点到我们（即空间坐标原点）的距离D(t_0)可以由RW度规的空间部分得到
我们看到的P点的光线都是之前某时刻发出的，即一束光线于t_p时刻从P点的星系发出，于t_0时刻到达我们位置，由类光矢量线长为0可以得到
假设P点离我们不太远，所以在光子传播的时间里（从t_p到t_0）因子R变化不大，所以近似有
可以由光子的测地线方程（β为仿射参数）得到
又因光子的四波矢为类光矢量，所以用RW度规缩并得
联立上面两式得
由光子四波矢在该参考系展开式可以知道dt/dβ就是光的角频率ω，所以
很明显，其中ω(t)的含义为t时刻的均匀各向同性观者测得的光波角频率，对于P点的星系，有
不管是哪一种宇宙模型，在开始的一段时间t∈[0，t_max)（现在宇宙仍在膨胀，所以现在的t_0<t_max，所以[0，t_max)即过去、现在及一段未来）里R(t)都是随时间变得越来越大的，这一点也可以从RW度规推导出来。所以从上式可以看出，当从p星系出发的ω_p频率的光束，到达我们这里时频率变为了ω_0，频率变得更小了，即发生了红移现象，这种由宇宙膨胀导致的红移称为“宇宙学红移”。
为了衡量红移的大小，用光波长定义相对红移量z
假设P点离我们不太远，t_0与t_p差距不大，可以将R(t_0)在t_p点附近展开
如果定义H=dR/Rdt，上式就是哈勃定律，即z与D成正比，比例系数为H(t_0)，但是很明显，这是一个近似的定律。
爱因斯坦场方程为
把RW度规代入，得
宇宙学常数Λ的引入，看作宇宙中总共有3种内容物，物质、辐射和暗能量，所以简写为
第一式称为Friedmann方程
第一式代入第二式消去dR/dt得
第一式对t求导与上式联立得
分别仅考虑物质、辐射、暗能量，然后对上式积分，可以得到
这就是随着宇宙的膨胀，每种内容物的密度如何变化
再由Friedmann方程，如果k=0（即宇宙为平坦的），那么宇宙的内容物总密度应为
该密度称为临界密度，所以可以通过测量当前的密度（或测量哈勃常数），来判断我们的宇宙究竟是平坦、开放还是闭合的，而当前的测量结果显示我们的宇宙极可能是平坦的。
定义密度参数Ω=ρ/ρ_crit，代入Friedmann方程得
再由Friedmann方程可以得
联立以上两式
定义a=R/R(t_0)
把以下密度表达式代入
再把红移z的表达式代入
我们想知道，对于接收到的红移为z的光，是来自多少年之前的P星系（即“回溯时间”是多少）。把红移定义式微分可得
所以对于P点星系发出的光积分，有
再将上面H的表达时代入，然后积分就能得出回溯时间。在此之前，先将H表达式进一步简化。
我们考虑的宇宙历史范围去掉早期（即辐射占主导的时期），辐射的贡献可以忽略，而且观测结果表面我们的宇宙近乎是平坦的，所以
所以
这个积分式是有解析解的，有兴趣可以自己算算，其中Ω_Λ(t_0)=0.7，H(t_0)=71km/s/Mpc。如果不想麻烦就直接数值求解就可以。
希望你推公式推的开心！周末愉快！
本文完。
