好久不见朋友们，最近在捣鼓程序，今天刚捣鼓好。
今天看到了“Numerical Linear Algebra with Applications”上的一个讲共振的小例子，感觉比较有意思，分享一下。
Tacoma大桥被风吹得剧烈摆动，图片源于网络
美国上世纪40年代的Tacoma大桥在建成仅4个月后就倒塌了
倒塌的Tacoma，图片源于Numerical Linear Algebra with Applications，fig18.1
后来认为这是由于风的频率接近大桥的固有频率（natural frequencies），发生了共振，导致桥体的来回位移很大，桥扛不住所以倒塌了。
考虑下面一个简单的模型
图片源于Numerical Linear Algebra with Applications，fig18.2
有2个质量均为m的物体，由3段弹性系数相同（均为k）的弹簧如上图连接并固定在墙上，给左边的物体加一个周期性外力，可以根据牛顿定律列出该系统的动力学方程
写成矩阵形式
简记为
先求没有外力的情况，也就是先计算上式的齐次形式
最终，方程的解就是这个齐次形式的通解加上原方程的一个特解。假设上式解的形式为
代入方程可以得到
这不就是要求矩阵K的特征值和特征向量吗！特征值和特征向量真是无处不在，本公众号其它多篇文章都在讲这个，感兴趣可以翻翻。接下来就是求解矩阵K的特征值和特征向量，从而得到通解为
其中的√(3k/m)和√(k/m)是系统的固有频率，当没有外力时，系统就以固有频率一直振动。
接下来求原方程的特解，为了方便把外力F0cosω0t写为复数形式F0e^iω0t，并且假设方程的特解形式为
取复数形式可以简化计算，算出最后结果后再取实部就可以了。下面需要求出D的具体表达式，将特解代入方程可得
只要2×2矩阵K/m+ω0²I可逆，那么
最终方程解的形式为
未知系数由系统的初始状态决定。
一个很有意思的点是，当外力的频率ω0接近系统的固有频率√(3k/m)或√(k/m)时，矩阵K/m+ω0²I会渐渐趋于变成不可逆的（即行列式为0），在这种时候，两个物体的振动位移会越来越大。Numerical Linear Algebra with Applications中给了一个具体的例子，让系统初始位置和初始速度为0，m=1，k=0，F0=5，再画出外力频率为两种不同值下，物体的位移变化
图片源于Numerical Linear Algebra with Applications，fig18.3
上面左图是一个普通的外力频率，系统可以在一定范围内保持稳定，而右图外力频率ω0为√(3k/m)-0.001，也就是接近固有频率，可以看出系统的位置变得非常不稳定，这就是外力和系统发生共振的结果。
本文完。
