如果有人告诉你他最近在玩“MCMC”，那他一般是指“马尔科夫链”+“蒙特卡洛模拟”。如果他告诉你最近在玩“MC”，那大概率是“我的世界”（Minecraft）。
MCMC是在做一件什么事情呢？
统计学在如今已经有了诸多妙用，很多情况下，都需要求解下面一个积分（以一维为例）
其中f(x)是某个分布的概率密度函数，我们耳熟能详的有比如均匀分布、高斯分布、瑞利分布。更多时候，f(x)是个很复杂的函数形式。而这个积分式就是在计算函数h(x)在分布f(x)下的平均值。
注意，我们是在处理实际问题，而在实际问题中，h(x)和f(x)的具体形式可能很复杂，根本无法求出原函数然后做定积分，但概率论提供了一个粗暴但极其有效的方法，假如获得了取自分布f(x)的一系列样本值X1,X2,X3,...，那么就可以如下计算上述积分
也就是直接求h(x)的样本平均值，这个值就近似等于积分值。
简单来说，就是产生符合分布f(x)的大量随机数，然后就可以计算出h(x)的平均值（即上述积分），这就是蒙特卡洛模拟干的事情。
仔细想想就会发现，上述过程最难的事情在于产生符合f(x)的样本值，即如何从已知概率密度函数f(x)中抽取随机数，而这就是马尔科夫链做的事情。
从分布中抽取随机数的方法有不止一种，比如还有“接受拒绝抽样”、“重要抽样”，马尔科夫链抽样的优点在于对于任意形式的概率密度函数都适用，而且产生随机数的效率高（接受拒绝法产生的一部分结果不符合要求需要扔掉，所以效率很低）。
比如，用马尔可夫链从二维正态分布（均值分别为0，5，方差均为1，协方差为0.7）中抽样10万个点，样本的分布如下
左图是采样点在两个维度上的分布，右图是第一个维度的边缘分布
可以看到抽样的效果非常好，而这么多样本（10万个）电脑用马尔可夫链方法在眨眼间就给出来了。
怎么样，假期你是要玩“MCMC”呢？还是“MC”呢？（金秋时节的假期还是远离电脑，出去走动一下）
假期愉快！
本文完。
