二维球体（即平面圆盘）、三维球体的面积体积我们都很熟悉了，而且也可以用普通的微积分内容推导出来。
那四维球体的面积体积（4维球体的面积就是3维球面的体积）怎么算呢？
在4维空间中，建立一个笛卡尔坐标系{x,y,z,w}，度规可以写为
通过类比3维空间中的情况，可以知道4维空间中的3维球面方程为
其中a为球面半径。
将球面方程代入度规表达式中可以得到3维球面上的“诱导度规”
在3维的球面上，只有3个独立的坐标{x,y,z}，做一下坐标变换
可以得到3维球面度规在新坐标下的形式为
可以从上面的式子看到一个有意思的情况，如果4维空间中的这个3维球面的半径a很大，那么度规就变成了3维笛卡尔空间（度规变为熟知的球坐标系的度规）。这就好像是一个人站在地面上，几乎感觉不到地球表面的弯曲一样（因为地球半径很大）。
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微分几何的知识还告诉我们，3维球面中的体积元为
其中|g|为度规的行列式，所以体积元为
对3维球面的全空间积分，就可以得到3维球面的体积为
上式乘2是因为变量表示的范围只有整个3维球面的一半。
有了3维球面的体积（即4维球体的面积），根据球的对称性，就可以算出4维球体的体积为
如果明白了上面的步骤，还可以类比着再算算低维的情况，结果与普通微积分的结论完全一样。
其实个人感觉先算低维的情况，再算高维更好理解，但篇幅限制，留给感兴趣的朋友自己去算。
本文完。
