在这昼夜等长的一天，来看看有关阻尼的一些情况。
弹簧振子对许多人应该很熟悉了，
如图，在光滑平面上，弹簧的一段固定于杆上，另一端牵拉一质量为m的小球。
小球的运动可以描述为如下形式，
运用牛顿第二定律，我们可以列出小球振子的动力学方程，这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，多种方法可以求解，在此就不展开了，并直接给出结果，
再代入初始条件，假设 t=0 时刻，小球位于振幅正向最大处静止，所以有
来看看这种情况小球的运动
t=0:2*pi/100:2*pi; % 设定参数tA=1; % 设定振幅和圆频率ow=1;x=A*cos(ow*t); % 简谐振动方程mysize=size(x);M=moviein(mysize(2));plot(0,0,'b*');for i=1:mysize(2)hold on;line([-1.5,-1.5],[-0.1,0.3]); % 画出弹簧固定端axis([-2,2,-2,2]);plot(x(i),0,'ro'); % 画出振子当前位置line([-1.5,x(i)],[0,0],'color','k'); % 黑线代表弹簧line([-A,-A],[-0.1,0.3],'linestyle','--'); % 画出振子的振动范围，即-A到+Aline([A,A],[-0.1,0.3],'linestyle','--');M(:,i)=getframe;hold offplot(0,0,'b*');endmovie(M,3);
由于没有摩擦，没有空气阻力，弹簧是理想的弹簧，总之一切都是理想的，整个系统在动能、弹性势能之间不断转化，并且转化过程中能量并不损失，所以每次回复，振子总能到达最大振幅处。
但现实中没有这种情况，更多的是有能量损耗的系统，下面对以上振子做一小改动，如下
这次给振子加了一个阻尼器，小球在往复运动时，每次都牵拉阻尼器的活塞对缸内的气体做功，不管活塞往哪边运动，阻尼器都给振子一个使能量损耗的作用力，我们再来列动力学方程，
注意观察新加的项，c为一常系数，代表阻尼大小，速度前面的负号则代表阻尼总是阻碍振子运动。为了明确各量的物理意义，不妨将式子写成如下形式，
至于为什么写成这样的形式，可以之后再考虑，但是就数学形式上来说，只不过移了移项、变了变符号而已。
该式为一个二阶常系数线性齐次微分方程，我们也能很容易写出它的解，只是要分情况。
该方程的特征方程的解为
可以看出，当p等于0时，即对应于之前讨论的无阻尼的情况。
由该式可以分为几种情况。
一、特征方程有两个不相等的实数解。
这时，p大于w，小球振子的运动方程为
式子中代入了与之前相同的初始条件。我们来看看振子怎么运动，
t=0:2*pi/200:5*pi; % 设定参数tA=1; % 设定振幅和圆频率等参数ow=1;p=1.1;a=-p+sqrt(p^2-ow^2);b=-p-sqrt(p^2-ow^2);C1=a*A/(a-b);C2=-b*A/(a-b);x=C1*exp(1).^(a*t)+C2*exp(1).^(b*t); % 运动方程mysize=size(x);M=moviein(mysize(2));plot(0,0,'b*');for i=1:mysize(2)hold on;line([-1.5,-1.5],[-0.1,0.3]); % 画出弹簧固定端axis([-2,2,-2,2]);plot(x(i),0,'ro'); % 画出振子当前位置line([-1.5,x(i)],[0,0],'color','k'); % 黑线代表弹簧line([-A,-A],[-0.1,0.3],'linestyle','--'); % 画出振子的振动范围，即-A到+Aline([A,A],[-0.1,0.3],'linestyle','--');M(:,i)=getframe;hold offplot(0,0,'b*');endmovie(M,1);
看看结果
可以看到，当振子在振幅最大位置释放后，先越过了平衡位置，但在到达负向最大振幅前，又慢慢回到到平衡位置并几乎静止不动了。这在图像上反应为如下情况
这种情况叫做“过阻尼”，振子几乎没完成一次完整振动，能量就几乎损耗完了。
二、特征方程的解是一对共轭复根。
这时，p<w，运动方程的解为
再来看这种情况下振子的运动
t=0:2*pi/200:5*pi; % 设定参数tA=1; % 设定振幅和圆频率等ow=5;p=1;b=sqrt(ow^2-p^2);C1=A;C2=p*A/b;x=(exp(1).^(-p*t)).*(C1*cos(b*t)+C2*sin(b*t)); % 运动方程mysize=size(x);M=moviein(mysize(2));plot(0,0,'b*');for i=1:mysize(2)hold on;line([-1.5,-1.5],[-0.1,0.3]); % 画出弹簧固定端axis([-2,2,-2,2]);plot(x(i),0,'ro'); % 画出振子当前位置line([-1.5,x(i)],[0,0],'color','k'); % 黑线代表弹簧line([-A,-A],[-0.1,0.3],'linestyle','--'); % 画出振子的振动范围，即-A到+Aline([A,A],[-0.1,0.3],'linestyle','--');M(:,i)=getframe;hold offplot(0,0,'b*');endmovie(M,1);
结果如图
在图像上则这样显示
每时刻的振幅由 e^(-pt) 这一项决定，如图
这种情况叫做“欠阻尼”。
三、特征方程的解为一个二重根。
这时，w=p，运动方程的解为
看这种情况下的振子运动
t=0:2*pi/200:5*pi; % 设定参数tA=1; % 设定振幅和圆频率等ow=1;p=1;x=(A+p*A.*t).*exp(1).^(-p*t); % 运动方程mysize=size(x);M=moviein(mysize(2));plot(0,0,'b*');for i=1:mysize(2)hold on;line([-1.5,-1.5],[-0.1,0.3]); % 画出弹簧固定端axis([-2,2,-2,2]);plot(x(i),0,'ro'); % 画出振子当前位置line([-1.5,x(i)],[0,0],'color','k'); % 黑线代表弹簧line([-A,-A],[-0.1,0.3],'linestyle','--'); % 画出振子的振动范围，即-A到+Aline([A,A],[-0.1,0.3],'linestyle','--');M(:,i)=getframe;hold offplot(0,0,'b*');endmovie(M,1);
结果如图
而在图像上则表示为
这种情况叫“临界阻尼”，好像是把小石头扔进了装满粘稠汽油的桶里的感觉。
该种情况运动的衰减最快，不会越过平衡位置。
