最近的工作刚好用上了这个小小的基础知识，就在这分享一下。
“二维随机游走”指的是一个粒子在二维平面上，从原点(x,y)=(0,0)出发，向着一个随机的方向（每个方向等可能）走随机的一段长度（每次选择走的长度也服从某个特定的分布），如此走了N次后，粒子在平面上的位置服从什么分布。
下面就看一下怎么推导。
先考虑粒子的x坐标变化，对于粒子的单次运动，向着x轴正向一侧运动的概率和向着x轴负向一侧运动的概率相同，因此粒子单次运动的x坐标变化的平均值为0，方差记为σ²。如此运动N次，粒子最后的X坐标为
根据概率论的中心极限定理，上面这个随机变量服从均值为0，方差为Nσ²的正态分布，所以粒子N次运动后的x坐标的概率密度函数为
y坐标的变化与x坐标形式相同，有y坐标的概率密度函数
粒子在二维平面上运动，有两个位置自由度，x方向的变化并不会影响y方向的变化，所以x坐标和y坐标的联合概率密度函数为
其中A为归一化系数，如下确定
由此又能得出粒子位于矢径长度等于r处的概率密度函数f_R(r)
根据大数定律，随着N的增大，有如下的依概率收敛
即单次运动的x坐标变化的平方的平均值为
而对于总的x坐标变化有
其中<R_i²>代表单次运动步长平方的平均值，需要指定具体的分布才能得出具体数值。
所以，N次随机游走后，粒子离原点的距离为r的概率密度函数为
至于粒子的方位，显然服从0~2π的均匀分布，也就是粒子对于运动到任意方向没有特别的偏好。
假设每次粒子只运动单位步长，即<R_i²>=1，那么可以把上面的概率密度函数做个图出来
运动次数N=10,100,1000,10000时矢径长度的概率密度函数
可以看出，随着运动次数N的增加，粒子最后的落点倾向于更远离原点，并且分布也变宽，说明粒子位置的不确定性随着N的增加也在变大。
随机游走在很多地方都有应用，如在天文学上讨论光子在散射光深较大的介质中的传播，还有计算机数值模拟、经济学（这咱就不懂了）。很多人应该是从“酒鬼问题”这里听说的随机游走，希望这篇推文能给你提供一点思考。
本文完。
