今天我们要“手算”斐波那契数列的任意位置的数字是什么，就是算出它的表达式，利用的方法是矩阵对角化。当然，虽然可以手算，因为涉及的只是2阶矩阵，但为了简便，还是利用程序求解。
首先，一个n阶矩阵可以对角化的前提是有n个线性无关的特征向量。假设A矩阵可对角化，即
其中各项的意义学过线性代数的都知道，不在此赘述。
现有一递归函数为
其中V代表一向量，上式也就是如下意思
在继续进行之前，首先明白一件事，那就是V0可以表示为A的各特征向量的线性组合。因为A是n阶方阵，并且A有n个线性无关的特征向量，所以对于SC=V0这个线性方程组，S矩阵的秩为n，并且S为方阵，所以对于任意V0，该方程组都有且只有唯一解，换句话说，任意V0都能表示为A的特征向量的线性组合。
联立以下各式
可得
对于斐波那契数列，序列中的一个数为前两个数之和，即0,1,1,2,3，5,8，，，，，，
我们设第k个数字是Nk,很容易看出，斐波那契数列满足下列等式
即
接下来要做的只有两件事，1，解出A的特征值和特征向量，2，将V0用A的特征向量线性表示出来，然后就能根据之前推出的公式写出斐波那契数列的表达式了，接下来的几步交给程序去做。
a=2; %要计算的范围b=10;A=[1,1;1,0];[S,D]=eig(A); %求A的特征值对角阵D和特征向量矩阵SC=S\[1;0]; %求SC=V0的C矩阵myF=ones(size(a:b)); %初始化一个适当大小的全一矩阵，用于存储for i=a:bVk=S*(D^i)*C; %用推出的公式算出需要范围的斐波那契数，并存入myF矩阵myF(i-(a-1))=Vk(2);endplot([a:b],myF); %画出图像
以下为计算的结果
可以看出这就是正确的斐波那契数列
你可能觉得这个方法一般，这些数口算也能算，那要是算第100个数、第10000个数呢，对这个程序只需改改数值就行了。
我们用tic toc来测试一下算到第100个数，和第10000个数的用时。
首先是100个数
然后是10000个数
计算10000个数比100个数只是多用了0.02878,秒，但如果口算呢？？？
最后，我们还可以用斐波那契数列得出黄金比例。如下
黄金比例是斐波那契数列的后一个数比前一个数。我们用刚刚算出来的10000个数求一下黄金比例
mysize=size(myF);G=ones(size(1,mysize(2)-1));for i=1:(mysize(2)-1)G(i)=myF(i+1)/myF(i); %代入公式endplot(G);
以下为结果
可以看出，越往后越趋于黄金比例，图像如下
其实用不了10000个数，后边就已经是一条直线了。
1.618，记住，这是我们亲自算出来的噢！
以上这种计算递归函数的方法是我看网课学到的，MIT线性代数，有兴趣也可以看看。
