文章开始之前提醒一下：
9月12日（星期四）晚上7:00，我会在直播间里和学而思的教研专家老师聊聊小学新课标下怎么规划数学学习的问题，并给大家推荐学而思专门针对新课标推出的新课程——学而思新数学。
这是我在直播间的首次出镜，希望新老朋友们都来捧场聊聊天哦~
最近频繁跟大家聊规划、聊数学要学什么的问题，发现有的家长对数学学习的几个层次，也就是——课内、培优、拓展、奥数4个层次的区分，不太清晰。
具体来说，以下几种观点很可能都体现了分不清这几种层次带来的概念混乱：
——小孩子学好校内知识就够了，其他知识不会考。
一、课内层次
课内层次最容易理解，那就是课本上会出现的难度层次。因为课本的普适性，是全国从北上广深到村镇小学，都能够、也必须学习的一个难度层次。
具体点，我们看看人教版六年级学习的《比和比例》一章的练习题：
这就是小学课内层次的典型难度水平。作为小学毕业的压轴章节，我不能说这些题目毫无难度，但是这些题目，确实只体现了对一个学生学习数学后最基本的要求。
课内层次包含以下特点：
1、基本上都是对基础知识的直接应用。
2、题目复杂度很低。也就是题目直来直去，不绕弯儿，体现在答案上，3行以内基本答完。
3、对象少，基本在2-3个，很少超过4个。
4、对格式要求高。
5、题型有限，练习和例题之间对应性很强。
二、培优层次
培优层次，是指在虽然没有在课本内直接讲解，但可以基于课内层次的题目解法，进行少量的深化、综合、变通，就能够解决的题型。通常在校内考试作为压轴题目，是区分校内成绩学霸和学弱的重要工具。
一般来说，这些题目出现在各地考试卷的最后3题（根据各地不同，有的多有的少）。很多课外辅导书，尤其是主打“学霸”、“尖子”、“状元”这些名号的教辅，一定会安排这类题目给孩子进行练习，以帮助孩子完成从90分到100分的提升跃变。
我从《黄冈XXX》中摘取同样是《比和比例》章节的部分题目作为例子：
可以看出来，培优层次题目有以下特点：
1、对象增加、对象关系变复杂。
2、题目复杂度增加，一般要3条算式起步（不考虑综合算式）。
3、但总的来说题型没有超出课内难度，知识点、解题思路也绝不超出课内难度题目。
一般来说，校内老师按照教研要求，不是必须要教这些培优难度的题目。尤其是班上学生参差不齐，连课内都很难保证平均80分以上的，老师去讲这些培优内容就跟杀猪一个效果。
但是，各校水平不一样，同一个学校不同班级水平也不一样。比方说广州某些知名民校就非常卷，课上大方讲解这些难题，学生也都能接受个七七八八。
另外还要注意，不同地区的校内考试难度不同，导致不同地方的“培优标准”也各不相同。比方广州的各区期末统考难度不高，上述举例用的题目在广州已经是妥妥培优难度。但在某些城市，也许就不值一提，可能会考到下文提到的拓展层次难度。
图片来源：影视剧《天才基本法》
三、拓展层次
拓展层次，是指一般在校内考试不会出现（否则就会有家长跳出来哇哇大叫），但是可能出现在各种课外兴趣班、MK、非核心数学竞赛中出现的难度层次。换句话说，这就是大部分浅奥课程、思维拓展课程会教到的内容。
我用前段时间给大家提到过的广州小升初真题卷给大家找几个例子：
这些都是《比和比例》一章对应的题目，可以看出有以下特点：
1、对象关系已经变得非常复杂，一般涉及3组或以上的关系，或者前后2次或以上的情形变化。
2、解题步骤可能进一步增加。但是这里举的例题不明显，因为最佳解法都是解方程。
3、和课内例题间的对应关系不存在或不明显。
这么看来，拓展难度是培优难度的进一步加深，从“不绕弯”到“绕一个弯”再到“绕两个弯”。但实际上，拓展层次的区别远不在此。
拓展层次的数学有个特点：并不绝对依据课本学过的知识点进行编写出题。
前面举例的章节《比和比例》，在拓展体系中会有所出现，但并不是主要板块，只是知识点之一；六年级另外几个重难点，如《圆柱和圆锥》等，在拓展中少有出现，因为出不了什么难题；而拓展中大量的内容，在课本中则没有对应章节。
比方说六年级拓展体系中最常见的工程问题、平面几何中的三角形面积模型、行程问题、平均数专题等，在课本中要么一带而过，要么根本没有出现。
严格来说，三角形面积公式、平均数计算公式、分数、比例等知识，可以说也是小学学习过的。但由于学习深度、方向的原因，可以认为这些题目已经“超纲”了。
四、奥数层次
奥数层次，专门指在各个奥数核心比赛中会考到的高难度数学题。
和拓展层次一样，奥数的体系设计，少部分是基于课内的重点章节进行延伸，但绝大多数已经和课内没有什么关联了。以小奥经典书籍“大白”为例，六年级的目录如下：
这里虽然有立体几何、应用题综合等章节和课本似乎有些对应，但内容已经是天壤之别了。作为对比，我专门找了《高思导引》中《比和比例》的章节的题目：
可以看出来，小奥题目即便是基于同一章的知识点进行设计，也已经比前面提到的3个层次要难了一大截——不用细究内容，光看懂题目对于很多人来说就已经十分吃力了。
不过，也不是所有的奥数题目，题干都跟作文一样长。只是因为比和比例这种应用题的思维复杂度不高，只能靠增加对象关系去制造复杂度。比方说，下面这道题的题干就十分简洁：
这道题来自小奥的数论专题。它的难度在于要证明的是一个无穷数列中所有数都不是完全平方数。
数论是典型的小奥专题，是课内、培优层次，甚至拓展层次都不会去触碰的高难度专题。别看常常是简单的几句话，能够把很多数学家的头发熬白，典型的就是“哥德巴赫猜想”，人人能看懂，人人做不出来。
另外，小奥还有一个特点，不一定需要特别复杂的计算，但对思考层面的要求却非常高，例如下面这道构造专题的题目：
由于思维要求高，所以奥数难度的题目变化无穷，几乎不存在固定的题型，也就很难有特定的套路。
上面举了一些例子，想给大家说明一下不同层次的数学内容分别有何特点、用在何处。总结成表格如下：
基于这个分类，下面更正一些常见于家长之中的误区：
1、小孩子学好校内知识就够了，其他知识不会考。
考试会不会考到校外知识，一取决于家长怎么理解“校内知识”，二取决于什么类型的考试。
如果说校内知识就是课本上出现的那丁点儿内容，包含所有出现过的题型，那未免太狭隘了点。至少前面说的培优内容，完全是基于课本知识做的拓展，是常见于各校内考试的题目难度。
如果说“校内知识”就是校内考的知识，这未免陷入循环定义的悖论中了。事实上，不同学校的校内卷子差异极大，这才有“教育资源不平等”的说法，才有千千万万家长削减脑袋要进名校、进尖子班的状况。
因此，校内考试考什么，乖乖听老师的就好了，别妄加评论，考难了考简单了都是出题人说了算。
2、这次考试好难啊，都考到奥数内容了。
基本上，绝大多数孩子和家长永远没机会遇到真正的奥数内容。一般考试能遇到的难度介于培优和拓展之间左右横跳，但永远达不到奥数水平。
奥数题目只会出现在专门的奥数竞赛或者高考度的MK，而报名参加这些考试的家长可不会去嚷嚷什么“都考到奥数内容了”。反过来说，绝大多数的学生，包括想要通过MK进入大部分重点初中的学生，其实也不需要专门学习奥数内容，因为用不上。
再说直白一点，编排甚至原创奥数题目，是大部分数学老师不掌握的技能。
图片来源：影视剧《天才基本法》
3、这个奥数课，跟我们北师大版的数学课本不匹配啊。
无论是奥数课，还是思维拓展课，都不要去问“适合哪一套数学课本，是人教还是北师大，我们沪教是五四制怎么办”。因为这些体系基本不和课本内容和进度挂钩。就好比从广州去北京，人家坐飞机，你非问到哪个站了，很外行。
跟课本对不上，学了有什么用呢？事实上，对考校内考试的帮助的确不是直接的。拓展层次和奥数层次是帮助学生提升思维能力，解决高难度的数学问题，尤其是初高中的数学学习问题。对于小学课内数学成绩的提高，效果不明显。
正如前面所说，校内数学考试，前面90分都和课本例题关系紧密。如果孩子是在这个范围内大量丢分，别说思维拓展，培优的教培都可以丢一旁，先解决核心基础问题。
4、思维拓展课，不就是奥数课吗。
这两者经常被混为一谈。事实上，在小低阶段，也就是1-2年级，二者差异的确不大。原因是这时候奥数没办法上难度，教的还是思维拓展那些内容。
随着年级上升，奥数的难度就凸显出来了。不同体系虽有差别，但是小奥难题基本上有以下特点：一是能难倒绝大多数成年人，二是使用到中学甚至大学的数学思想。可以说，小学低年级大部分孩子都可以说自己在“学奥数”，但到了高年级，如果难度只学到拓展层次，去参加奥数竞赛可能就很痛苦了。
图片来源：影视剧《天才基本法》
今天跟大家聊了些干货，内容比较长，估计又是阅读量不高的一篇。但即便如此，我还是想跟大家多分享这些对孩子真正有价值的内容。如果你看到了这里，不妨给我点个赞，支持一下辛苦原创码字的珊爸，谢谢。
推荐阅读
