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依据我执教小学奥数的经验，“排列组合”与“几何模型”是初次接触的学生最难理解的！这与学生的年龄有关，相对而言，它们更抽象一些。——这可能与很多家长的认知并不相同，对于家长而言，最难理解的可能是数论，因为大多数家长在学生年代几乎从未接触过这个内容，而排列组合在高中有接触，几何模型的本质是比例关系，也是属于家长们曾经学习过的内容。
今天我们就以“排列组合”为例（默认学生已经学习并掌握了加乘原理），“排列”的表示字母是A，“组合”的表示字母是 C。一起来试一试该怎样讲，更利于小学生的理解，并且一起来看一看什么叫“慢教学”？共同探讨一下是不是对学生的思维有更好的培养作用？
现在，开始上课。
排列组合是计数的一种方式方法，计数，顾名思义，就是计算数量，通俗一点说就是数一数有多少个“东西”。
例题1：从魔、都、文、渊、阁5名同学中选择2名同学分别去洗碗和刷盘子，一共有多少种不同的选择方式？
好，那我们来算一算：
先来看洗碗可以有几种选择呢？嗯，5种！因为有5名同学可以任选其一；
再来看刷盘子可以有几种选择呢？嗯，4种！因为还剩下4名同学可以任选其一。
至此，我们就知道：一共有5*4（乘法原理）种不同的选择方式！
例题2、例题3：我们可以随意列举几个相似的例子，让学生明白这种计数的方法。
接下来，我们将例题1、2、3的计数方法抽象成一个模型：从5个不同的物品中选择2个放在不同的位置，有几种不同的选择方式呢？（此处，一定要注意让学生充分知晓5个物品是不同的，且2个位置也是不同的）嗯，就是5*4种。
数学讲究简洁，我们将“从5个不同的物品中选择2个放在不同的位置”这句话进一步简化，干脆用一个符号来表示，即A（2,5）。同学们在这个地方一定有点不理解，这个符号为什么是这样？这就是一个数学符号！你知道这个符号表示什么意思就好了。
那么，这个符号的具体结果是多少呢？根据上面的结论自然是：A（2,5）=5*4。
以上，我们都是为了帮助学生理解如下两个问题：
1、A（2,5）是什么意义？
2、A（2,5）等于多少？
这就是对一个数学模型的理解与计算。
接下来，我们要干嘛呢？
第一，我们要让学生理解A（2,5）、A（3,5）、A（2,6）、A（3,6）等等的意义；
第二，我们要让学生知道A（2,5）、A（3,5）、A（2,6）、A（3,6）等等的结果是多少。
这一步，应该是不难的，都是很明显的规律，但是这一步是不可或缺的！需要让学生自己开口、自己总结，再加以引导、纠正。
接下来是最重要的事，要帮助学生会运用这个排列公式。你需要在不同的题目中发现这个数学模型！可以分两步走：
第一步：你来举例子，让学生写排列的公式；
第二步：你来写排列的公式，让学生找例子。
这两步都要慢慢来。
最后，再一起总结关于排列的公式：
A（1,5）=5
A（2,6）=6*5
A（3,7）=7*6*5
A（4,9）=9*8*7*6
A（5,9）=9*8*7*6*5
至此，排列应该算是基本掌握了。
接下来，我们就得讲一讲“组合”啦！
例题4：从魔、都、文、渊、阁5名同学中选择2名同学去洗碗，一共有多少种不同的选择方式？
先让学生自己去发现，这道例题4与前面的例题1有什么区别？学生比对一下，应该能发现区别：前面是选择2名同学去洗碗和刷盘子，后者是选择2名同学都去洗碗。
按照前面的模型总结，这道例题的模型便是：从5个不同的物品中选择2个物品，有几种不同的选择方式呢？（此处，就没有什么位置不位置的了）
此时，我们不妨把例题1的模型和例题4的模型进行对比：
例题1的模型是：从5个不同的物品中选择2个物品放在不同的位置；
例题4的模型是：从5个不同的物品中选择2个物品；
引导学生对两者的相同与不同做进一步的认识。
相同：都是5个不同的物品中选出2个；
不同：对于选出的2个物品，“排列”要求放在不同的位置，不同顺序代表不同的情况；而“组合”没有顺序的要求，不同顺序代表一种情况。
那么组合可以用什么公式表达呢？是的，就是C。对于例题4，便是C（2,5）。那么问题来了，C（2,5）等于多少呢？这是关键。
我们可以从排列与组合的区别进行推导！（在此之前，强烈建议让学生再次记住排列A与组合C符号的表面区别，即哪个符号代表哪个，初次接触的学生容易混淆，如果学生搞不清楚，接下来老师嘴里快速蹦出来的A或者C，学生都得反映一会儿究竟谁代表谁？）
1、对于排列A（2,5）与组合C（2,5）的关系
后者只要求从5个物品中选出2个物品，而前者相当于在此基础上，对选出来的2个物品再做排序，那么，前者自然是后者的2*1倍。转换成除法即：
2、对于排列A（3,6）与组合C（3,6）的关系
后者只要求从6个物品中选出3个物品，而前者相当于在此基础上，对选出来的3个物品再做排序（这种排序叫做全排列，不过初次接触，不必讲这个概念，可以当做一道新的排列例题去讲一下），那么，前者自然是后者的3*2*1倍。转换成除法即：
该结论比较抽象，初次学习时，不妨使用更数字化的表达，规律本身并不难。
接下来，比较关键的就是重复前面的步骤：
第一步：你来举例子，让学生写组合的公式；
第二步：你来写组合的公式，让学生找例子。
同理，这两步都要慢慢来。
最后，需要做一件事，就是进一步搞清楚排列与组合的区别！
1、你来举例子，让学生写公式，是排列还是组合？
2、你来写排列和组合的公式，让学生来分别举例子。
如上这些内容，按照我的经验，对于一般的小学四年级学生而言，至少需要两节课才能搞清楚。因为实际的讲解内容肯定不止我上面写的这么多，课堂上要根据学生的反馈，不断做调整、补充。
最后，来点理论建议：
学习小学奥数，不要急，慢慢来，越是合理的“慢”，越是竟想不到的“快”。
我教过多种小奥班型，比较基础的也有，大概就是本文这种讲解思路，高端的班型也有。我的经验是：绝大多学生都不是天赋异禀的孩子，都需要慢慢来引导，这并不代表学生不够聪明，有时候跟年龄有很大关系，尤其是小学生，大脑还在不断发育进化中，大约到了初三，可能才接近成年人的理解能力。
所以家长们平日在辅助孩子们学习时，要充分了解到孩子的理解极限，不宜强灌，更不宜对孩子进行否定！在我教过的一些比较基础班型的学生中，有不少孩子最后都能去到一、二线初中。现在的各种牛娃论确实很误导人，我在我们家长群里，经常看到这个测试卷、那个测试卷，如果我不是老师，不是亲身接触过很多学生，可能我自己都不能幸免，都要被引入歧途。
实际上，在我们一个与某校合作的项目里，至少聚集了上海最顶尖一批牛娃中的1/3，我们很清楚他们的样子。他们具体是什么样子？择日由我的好搭档12号老师成文分享，包括但不限于他们的学习进度、深度、考试卷、成绩等信息。所以有时候看到各种有关小学“牛娃”的信息满天飞，真的是有点忍俊不禁。
另外，还有一点经验分享给大家：有时候通过一些知识点，慢慢引导学生，让他们彻底搞懂以后，似乎就像打通了他们的任督二脉！理解力开始明显攀升！这种现象令人感到困惑，我百思不得其解，有可能打通他们任督二脉的并不是“某些知识点让他们彻底搞懂”，有可能是年龄大了一点的自然结果？也可能是长期的积累得到了质变？更有可能是多种综合因素所致。
一个人拿一把钝刀去砍了5个小时的柴，另一个人先拿1个小时去磨刀，然后再去砍了4个小时的柴，你说最后谁砍的柴会多呢？我想“慢教学”就是在磨刀，尤其对于小学低年级学生，宁可多磨刀！
