ABOUT US
魔都文渊阁由清北复交毕业教师协同多位学校一线在职教师创立，这里有前国家集训队竞赛大神，也有高考状元级别的高分王者！我们不是培训机构的后院，志在以上海为中心做全国最有质量的k12教育自媒体。
近期我们数学教研组在重新归纳整理近几年的四校八大自招题，并做一些解析的校正、补充及针对性模拟卷的命题工作，我被安排了一些任务。由此留意到其中一道几年前上海中学的自招题：10个球排成一列，有红色或者蓝色（可以全红或者全蓝），要求每个红球都与另一个红球相邻，求排列的种类数。翻译一下题目便是“不允许存在孤零零的红球”，原解析（为使读者更易理解，我做了一些解释、描述性说明）如下：该方法非常优美，对学生有较高的思维要求，不易理解。记n个球满足题意的种类数为a（n）种，所求即为a（10）如果第一个球为蓝色，那么接下来的排列种类数与独立的n-1个球等价，即a（n-1）种；如果第一个球为红色，那么接下来的排列种类数与独立的n-1个球的情形并不等价，因为接下来的球只能是红色，而独立的n-1个球的第一个球可以是蓝色。此时，已经“红红”开头了，接下来与独立的n-2个球也并不等价，因为n-2个球的开头不允许出现“红蓝”的情形，而如果n个球以“红红”开头，那么接下来的n-2个球却可以以“红蓝”开头，由此，也就多了一种情形，即“红红红蓝”开头的n个球的情形，这恰与独立的n-4个球等价，a(n-4)种，则共计a(n-2)+a(n-4)种。综上，a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n-4)我们可以很快求出a(1)=1，a(2)=2，a(3)=4，a(4)=7，由此求出a(10)=200种但我想如果在考场时间有限情况下，是较难快速想到这种具体的解法的（并非指想不到去尝试递归，而是指等价情形容易想错，在不知道正确答案时，漏掉或重复了某种情况却又很可能自认为做对了）。所以分享一种朴素的分类计数法，以下这种具体的方法是我目前认为最便捷的一种，略有一定的思维难度。看上去需要构造“盒子”，但这其实只是为了表述得更加易于读者理解。记相邻的同色球为一“群”
0群红球的情形：即全蓝的情形，1种
1群红球的情形：从左至右分别有三个盒子，每个盒子只能放指定颜色的球，依次至少需要放入：0个蓝球、2个红球、0个蓝球。采用隔板法，可知C（2，10）=45种
2群红球的情形：从左至右分别有五个盒子，依次至少需要放入：0个蓝球、2个红球、1个蓝球、2个红球、0个蓝球。采用隔板法，可知C（4，9）=126种
3群红球的情形：从左至右分别有七个盒子，依次至少需要放入：0个蓝球、2个红球、1个蓝球、2个红球、1个蓝球、2个红球、0个蓝球。采用隔板法，可知C（6，8）=28种
共计：1+45+126+28=200种
注：这种分类计数的解法，不同分类下“组合数”的上下标多半是呈现明显规律的，自己便很清楚有没有重复或遗漏，比如本题的0群红球也可以写成C（0,11）=1，4群红球也可以写成C（8,7）所以不存在（至少用到了11个球）。
1、递归法是计数里一种非常好的解题方法，从我们小奥里比较早接触的“10级台阶，每一步可跨一或者二级台阶，一共有多少种跨法”这类题目，便是递归法的雏形，优秀的学生应该掌握，在后续的竞赛或者自招学习中，大有帮助；2、朴素的分类计数法往往是考试中的利器，即使需要讨论的情况比较多，由于每种情况下的计数都是比较基本的(甚至是枚举)，在保持专注的前提下，不难在有限的时间里求出答案。我在教学过程中非常强调计算能力的培养，因为考场上追求的只是任意一种行之有效的解法，经验丰富的考生往往可以准确评估计算的复杂度以及大致需要的时间，而另寻优美的简捷解法则需要付出不可控的时间成本。观察这一两年的中考自招题，作答时间少，题量一般是模拟高联一试题型分布（8道填空+3道解答），至少2023年四校的几次飞行考考题是这样，不过，这完全不代表中考自招题=高联一试题（这往往恰是一些家长的误解），只是题型分布相同。所以，同学们在备考时，也要注意作答时间的分配问题。![]()
几本经典的自招&竞赛教辅，有多少学生正确使用了？
自招四校八大，你需要提前学习的一些高中内容
我想自招，但不想走竞赛路线
某四校飞行考刚刚结束，听说初步选定了20人&附真题及解析
2024届四校自招真题与解析分享
