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魔都文渊阁由清北复交毕业教师协同多位学校一线在职教师创立，这里有前国家集训队竞赛大神，也有高考状元级别的高分王者！我们不是培训机构的后院，志在以上海为中心做全国最有质量的k12教育自媒体。——关注我，与我同风起！
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与你利益高度相关的写在前面：如果同学们参与一些比赛，小升初或初升高的神秘考、飞行考、自招考，初中阶段的复旦&四校数学营，高中阶段的强基计划等活动，不限于数学，可以包括物理和化学，考虑到这些活动官方一般不会公布试卷，所以如果你们有回忆版，可以发给文末的小新老师，我们愿意做解析，并予以点评分析。记住，不是个别的题（除非某次考试某道题具备较为特别的价值或传播意义）哦，而是比较多的题或者完整的考卷，因为前者不具备较高的传播价值，简单说，就是可以给我们写文章分享。昨天群里家长发来一道题，如下图，说是今年“思维100”五年级的压轴题（为扣标题，补充一句：我们群里一些参与的学生的家长反馈这道题比较难，其它题很简单。再插播一句：不少家长询问思维100对小升初择校有没有帮助，我们打算调研了解一下，再回复）。
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这是一道组合计数题，对于大多数五年级学生而言，难度不小。“组合计数”几乎是高联一试填空压轴题的必考考点，当然，这道题难度显然达不到高联一试压轴题的平均难度，但由于它并不是高考的重难点，所以这道题的难度肯定明显高于高考对组合计数（具体就是排列组合）的要求。
我们先给答案，如下图所示。
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绝大多数同学可能理解不了第一种解法的这些式子，我们不妨来模拟课堂进行充分的解释。将“黑板上写了四个数之后，整个过程结束了”翻译一下，即：前三个数两两互质，第四个数与前三个数中的至少一个数不互质。
接下来，我们对2310分解质因数，即：2310=2*3*5*7*11。想要满足题意，这就要求前三个数中至少存在2、3、5、7、11这五个质因子中的一个，否则前三个数只能都是1，无论第四个数是什么，都无法满足“写到第四个数时，黑板上出现了两个不是互质的数”这个条件。
那么，我们分五种情形来讨论，我们拿“第二种情形”即前三个数中出现了2、3、5、7、11这五个质因子中的两个来举例说明。
这就相当于从这五个质因子中选两个出来，有几种情况呢？显然是C（2,5），那么对于被选出来的这两个质因子（假设是7和11）究竟是怎样分布在前三个数中的呢？这里有个问题同学们需要注意一下，两个质因子最多分布在两个数中，那么这就意味着可以默认余下一个数是“1”，同理，如果两个质因子都分布在一个数中，那么余下两个数都是“1”，这是有关因数计数问题的常见处理方式。
先来考虑质因子“7”，它可以分布在前三个数中的任意一个，即3种选择，再来考虑质因子“11”，它也可以分布在前三个数中的任意一个，也即3种选择，这就是3^2（表示3的2次方）种情形。具体分布情况如下：
1.1.77 ; 1.77.1 ; 77.1.1
此时，前三个数我们已经锁定了，根据乘法原理，前三个数的情形有：C（2,5）*3^2种。接下来，我们得考虑第四个数了，使它满足至少与前三个数中的某一个数不互质，这就意味着第四个数必须含有质因子7或11，注意，这里是“或”，那就意味着仅含有7、仅含有11、同时含有7和11三种情形，一般来说，利用容斥原理去统计也可，但较为麻烦，不如采取补集法，即将2310的所有的因数个数减去不包含7和11这两个质因子的情形。那么，2310有多少个因数呢？根据因数公式，我们可以知道有：（1+1）*（1+1）*（1+1）*（1+1）*（1+1）即2^5种；
那么，不包含7和11这两个质因子的因数有多少呢？既然不包含7和11，那就只能包含2或3或5，对于“2”而言，可包含也可不包含，那就是2种选择；对于“3”而言，可包含也可不包含，那也是2种选择；对于“5”而言，可包含也可不包含，那还是2种选择；显然，共计有2^3种。（注意：如果“2”、“3”、“5”都选择了不包含，那就默认这个数是“1”，它也是属于不包含7和11这两个质因子的因数之一）即第四个数的情形有：2^5-2^3种，结合前三个数的情形就是：至此，其它几种情形，就很好理解了，它们具备显而易见的规律。尽管对这道题的分析写的比较多，实际考场上解答只需要前面一个式子即可，本文主要是试图模拟课堂教学。看来，想把一道题讲清楚并非易事，需要充分考虑到学生的实际情况，并根据学生的接受能力，随时进行补充、拓展与延伸，乃至是对过往掌握不够好的知识点进行巩固梳理。这也就是我们一直提倡的“慢教学”，只是为了更“快”！与各位家长及同仁共勉。
既然前文提到组合计数几乎是高联一试填空压轴题的必考题，那么分别选2019年、2010年、2021年、2024年一试填空压轴题如下，供有兴趣的同学们试一试，没必要看到高联就怕，下面几道题并不难，但是对思维严谨度要求很高，一不小心就会“多”或者“漏”。![]()
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