我有一个理论。以数学为例，其他物理什么可以类比。
高考加竞赛可能出现的所有题目，我们不妨设他们都是一个高维单位球内的点，离球心的距离是难度。所有定理，公式，也可以理解成是一道题目。然后，我们认为距离越接近的题目，越相似。
题目是无限的，我们当然不可能做过所有的题。就像球是连续的，有无穷个点一样。我们学过的，做过的，是单位球的一个 "有限子集”。怎么样算学得好呢，那就是在球中任意找一个点（任意找一道题），你的有限子集里都有一个点和这个点距离不远。这样，自己做一些小的变化，就能解决遇到的这个新题目。
这个概念在数学中叫“r-net”，这里实数r就是球上的点离你的有限子集的最大距离。事实上，一个d维球的r-net的大小是(1/r)^d。你的能力，可以理解为这个r的大小。比如你的r是0.1，张三的r是0.2， 那么你就要做张三的2^d倍的题目，才能达到和他一样的水平。对于高中数学来说，d怎么也有个10以上吧，所以你得花张三的2^10=1024倍的时间才能追上他。
花这么多时间当然是不可能的，人家只要学一个月，你学完高中三年也赶不上了。有很多人，无论怎么学，高考卷最后一题都很难做出来，这便是因为少量"量的堆积”难以弥补"质"上的指数级差距。
所以，学数学最重要的就是提高这个“r”。当然你可能会说，这是天赋，我没办法，只能靠时间来弥补。我认为这是一个非常常见的误区。按照我们之前的分析，如果你只是堆时间，在题海里游泳，效率是非常低的，仅有人家的千分之一，约等于无用功。
在这方面，一个典型的低效学习方法就是“错题本”，如果做错的题目还记不住，那首先就是应该逼自己完全搞明白为什么自己会“做错”或者“想不出”，从逻辑上消灭这个错误，而不是简单地在大海里记下一个点，刻舟求剑。最后看似花了很多时间做题，记了十几个本子，但脑子里还是没记住，这其实是一种偷懒。
那么如何提高“r”呢？我认为，这个“r”其实就代表了对题目的感觉，正如冯诺依曼所说：“你从来不会数学，你只是习惯它”。但这种感觉不是与生俱来的，而是一种逻辑上的感觉，可以通过后天训练提高。
所以我认为最重要的一点就是“在逻辑上诚实”。我见过很多孩子，不会做的题，听老师讲一遍，或者看答案，当时能听懂或者看懂。但是这种“懂”，可能只是他懂你的每一步用到的定理和公式，整体的逻辑上他并没有思考过。或者他嫌麻烦，不愿意在逻辑上一步一步去思考来龙去脉。
一个非常简单的验证方法是，从头到尾自己严格推导一遍，或者写一遍证明，看一下是不是有任何地方是不严谨甚至是错的。在这个过程中，一定要诚实，要像个杠精一样，眼里容不得任何沙子，对自己不严谨的地方零容忍。这么做几次以后，你的感觉就会开始建立，一道题目和什么有关你会更容易感觉到，因为你在类似的地方较过真。这么做是不是要花很多时间？开始时可能是的，但绝对值得，因为我们分析过了，只要能提高一点"r"就是质的改变，比走马观花的题海战术高效太多了。
另一个亲测有效的方法就是，把自己状态最好的时间留给数学，比如运动回来洗澡以后，下午喝了杯咖啡刚开始学习那会儿，这可以让你的感觉更强烈。相反地，状态不好就去休息，别一直学，避免把不好的感觉留在脑子里。
在你的"r”提高以后，学习数学将是一种比玩游戏更快乐的体验。你看书自学时，看两页你就能猜到10页以后要讲什么，一天能学完别人一学期的内容；老师课上的任何不严谨的地方你都能立即发现，再根据自己的心情决定是否指出；平时考试的所有题目几乎都是看一眼就知道怎么做，然后慢悠悠地写完再检查一遍，发现才过去一半不到时间；班上的女孩子有什么难题都会第一个想到你。
