以前读书的时候，
从来没有哪位老师给我介绍过哪个学科的知识框架。
现在想想如果当时有人可以指点我一下，
至少我会对自己想干嘛更清楚一些。
现在自己做一个小小的数学补习老师，
也可以实现这个目标，
让学生更早地明白这些东西是干嘛用的。
首先，初中数学学什么？（以六三制为例）
七（上）：有理数；整式的加减；一元一次方程；几何图形初步；
七（下）：相交线与平行线；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式和不等式组；数据的收集、整理与描述；
八（上）：三角形；全等三角形；轴对称；整式的乘法与因式分解；分式；
八（下）：二次根式；勾股定理；平行四边形；一次函数；数据的分析；
九（上）：一元二次方程；二次函数；旋转；圆；概率初步；
九（下）：反比例函数；相似；锐角三角函数；投影和视图。
我认为这套教材不好的地方在于把知识割裂开，
很多时候前面一个单元和后面紧跟着的单元毫无联系，
不利于学生建立起完整的知识结构，
实际，如果按照知识结构，也就是数学实际模块来讲，
可以分成以下板块：
代数模块：有理数；整式的加减；一元一次方程；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式和不等式组；整式的乘法与因式分解；分式；二次根式；一次函数；一元二次方程；二次函数；反比例函数。
几何模块：几何图形初步、相交线与平行线；三角形；全等三角形；轴对称；勾股定理；平行四边形；旋转；圆；相似；锐角三角函数；投影和视图。
统计模块：数据的收集、整理与描述；数据的分析；概率初步。
值得注意的是，从教材编排和实际教学来看，
初中数学在难度的突然提升上一般在初二上学期，
这个学期无论几何证明还是代数式化简，
其解题对模式识别和技巧要求很高，
学生需要接受较高强度的训练，
这个过程是枯燥乏味的；
同时还需要一定的观察力。
不少孩子真正喜欢上数学是在初二上学期，
因为孩子有可能从几何证明或者代数变形中找到乐趣。
当然，孩子对数学深深厌恶，深深恐惧的开始也基本从这一个阶段开始。
一般，我会建议家长在初一升初二的暑假让孩子提前学习，做好充分的准备。
而且，需要学得比较深入，不然也是无效的。
第二，高中数学学什么？
原新课标高中教材：
必修部分：
必修1：集合；函数（概念、性质、一次函数和二次函数）；基本初等函数I（指数函数、对数函数和幂函数）
必修2：立体几何初步（空间几何体、位置关系）；解析几何初步（平面直角坐标系、直线方程、圆方程、空间直角坐标系）
必修3：算法初步；统计；概率
必修4：基本初等函数II（三角函数）；平面向量；三角恒等变换
必修5：解三角形；数列；不等式
选修1系列（文科）：
1-1：常用逻辑用语；圆锥曲线与方程；导数及其应用
1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图
选修2系列（理科）：
2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何
2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数
2-3：计数原理、概率、统计案例
其他选修课
3-1数学史、3-3球面几何、3-4对称与群论、4-1几何证明选讲、4-2矩阵与变换、4-4坐标系和参数方程、4-5不等式选讲、4-6初等数论初步、4-7优选法与试验设计初步、4-9风险与决策。
全国卷高考选考题是从4-1几何证明选讲、4-4坐标系和参数方程、4-5不等式选讲这三部分中出题，应该说是比较适应大学高等数学的学习的。
但是矩阵没入选令人遗憾！！！
我推荐新版教材，更加合理！！！
所以初高衔接，我选择的是新版本！！！！
新版教材体系如下
必修A版共两册：
第一册：集合与常用逻辑用语；一元二次函数、方程和不等式；函数的概念和性质；指数函数与对数函数；三角函数
第二册：平面向量及其应用；复数；立体几何初步；统计；概率
必修B版共四册：
第一册：集合与常用逻辑用语；等式与不等式；函数；
第二册：指数函数、对数函数与幂函数；统计与概率；平面向量初步
第三册：三角函数；向量的数量积和三角恒等变换；
第四册：解三角形；复数；立体几何初步
选择性必修共三册：
第一册：空间向量与立体几何；直线和圆的方程；圆锥曲线的方程
第二册：数列；一元函数的导数及其应用
第三册：计数原理；随机变量及其分布；成对数据的统计分析
如果按照数学领域分类，应该按照以下模块分类较为合理，
旧版教材把模块严重割裂，不科学！！！
函数与代数模块：集合与常用逻辑用语；函数的概念和性质；初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数包括三角恒等变换）；平面向量（平面向量初步、向量的数量积、解三角形）；等式与不等式；数列；一元函数的导数及其应用
几何模块：1）立体几何—空间几何体；空间位置关系；空间向量与立体几何；2）解析几何—直角坐标系；直线和圆的方程；圆锥曲线的方程
概率与统计模块：统计与概率（数据的收集、特征和表示、样本估计总体；随机事件和独立性、古典概型）；计数原理（排列组合、二项式）；随机变量及其分布（随机变量和条件概率）；成对数据的统计分析（相关和回归）
接下来是中学数学和大学数学的衔接
数学根据研究对象的不同，可以并不准确地划分为简单的四个部分：
代数的研究对象是代数结构和运算法则；
几何的研究对象是图形性质和空间关系变化；
分析的研究对象是函数也就是变量关系的性质；
数论的研究对象是整数的性质。
之所以说并不准确，是因为数学学科作为一个门类，
各个部分之间彼此联系得非常紧密，
各个专门领域之间相互借鉴之处甚多，很难严格地将它们互相区分。
例如初中数学中的函数图像，
高中数学中的三角函数、解析几何、向量，都是这方面的典型体现。
除了数学专业的学生，一般的大学本科生，
最主要的数学课程是
高等数学、线性代数、概率论和数理统计这三门课程，
这也是考研数学的主要内容。
高等数学就属于分析范畴，
线性代数属于代数范畴，
概率论和数理统计属于应用数学范畴，但需要分析和代数工具。
几何和数论一般只有数学系和少数专业学习。
中学数学知识是学习大学数学知识的基础，
这就是学习中学数学的意义所在。
我们来说一下中学数学的知识脉络以及它们如何构成大学数学的学习基础。
先说代数和分析：
小学我们做的计算题都是数的运算，结果就是一个数，所以学的都是数的运算法则。
到了小学高年级，我们开始学到用字母表示数，这叫做代数式。
“代数”是晚清数学家李善兰译介到中国来的，取其“以字代数”之意。
代数式是一种语言体系的转换，
我们可以通过这种方式构造公式，将运算一般化，得到通用的解法；
等到面对具体问题时，
在将具体的数代入公式中，就可以解决问题了；
而代数研究的目的就是寻求通用的解法。
引入代数式之后出现了数系的扩充。
随着处理的数字越来越复杂，
加减乘除的四则运算不能够得到自然数的结果，
a-b(a<b，a和b都是整数)引出了负数，
a/b(a<b,b≠0，a和b都是整数)引出了分数。
所以我们把原来的整数扩展为有理数。
这是另一种语言体系的转换，我们使得运算的范围扩大了。
然后我们开始学习整式（字母不做分母的代数式，包括单项式和多项式）的加减和乘法，
并且学了整式乘法的逆运算——因式分解，
即如何将一个复杂多项式转化成简单多项式的乘法；
并且从另一条主线上，
我们也学习了整式方程即一元一次方程、二元一次方程和不等式。
整式也能够做除法，变成分式，同时也可以做分式方程。
但是，在解一元二次方程时遇到了开方问题，
这种运算与四则运算不同，
得到的结果不一定是有理数，
于是我们接受了无理数的存在，并将数系扩充到实数。
开方运算有一些特殊的运算法则，
例如负数不能开平方之类，这种法则同样代数式同样要遵守，这就是根式。
有了这些基础，一元二次方程的问题就能够解决了，
我们得到了一元二次方程的通用解法——求根公式。
学了好了基本的运算（加减乘除和开方）和方程以后
引入了函数，引入函数以后，数学的语言体系就又提高了一个新的层次。
研究函数和应用函数，是分析的主要任务。
函数之重要性，说它是现代数学最重要的概念也不为过。
世界上的事物是普遍联系的，
但是传统的自然哲学对这种联系的分析都是定性的：
比如用火加热，水的温度就会上升；
用力越大，弹簧拉得越长；
而现代科学则需要对这种联系进行定量分析，找到联系的普遍规律，这就需要用到函数工具。
初中物理里的关于加热的公式Q=Cm(T2-T1)、
弹簧受力的公式N=k(x-x0)以及高中物理的万有引力公式F=GMm/r2，
本质上都是这种借助函数工具进行定量研究的产物。
函数是中学数学承上启下的核心知识，初中函数的应用基本是在解方程和不等式上，而高中数学除了一部分几何和统计知识以外，几乎完全建构在函数理论之上。
高中数学首先引入集合语言，引出后文对函数的定义。
集合论是现代数学各个分支领域的基石
但是高中水平的数学几乎用不到这个东西，只需要会进行简单的集合运算就可以。
然后开始深入研究函数的单调性、奇偶性等一般性质，初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的特殊性质，以及一种自变量为正整数，因变量为实数的特殊函数——数列，即实数序列。
三角函数引出平面向量，其运算法则反映出的向量代数也是一次数学语言的重大飞跃：我们发现能够运算的不仅是数和代数式，还有有序的数和代数式。
然后是不等式，你也许会疑惑学这么复杂的不等式干什么，但到了大学学习真正的数学分析就会知道，不等式证明技巧是学习数学分析必备的本领。
这些基础打牢以后，就开始学习极限和导数，高中数学到此就戛然而止了。
函数、数列、不等式、导数是高中数学最难的部分，
这些也是高等数学基础的基础。
所以高考题的最后一题，基本上就是函数、数列、不等式和导数的综合应用。
到了大学，接续这部分的内容就是大名鼎鼎的高等数学，
其中绝大多数内容也就是微积分。
数学专业则学习数学分析，这是用更严密的论证体系来学习微积分。
然后我们再说说几何：
几何起源于古埃及，
因为埃及的尼罗河每年的周期性泛滥带来大量肥沃土壤，
但是土地的分界也都会被冲毁，
因此每年古埃及人都要重新丈量土地，在长期实践中总结的测量技术逐渐发展成为最初的几何学；
平面几何集大成者就是欧几里得的《几何原本》。
这本书从少数的定义、公理和公设出发，通过严密的逻辑推理，构建了一个庞大的几何体系，影响至今。
初中几何就是平面几何，
如果严格一点说，应该是欧氏平面几何，基本内容就跟教材上的标题一样：先介绍几何图形（点、线、面、体、角），
然后介绍直线基本关系（相交和平行），同时介绍公理、定理和证明的概念，之后就是三角形、全等三角形、勾股定理、四边形的证明，就是记忆各种定理和训练证明技巧；接着就学习对称性（轴对称、旋转）、相似性（相似形）、圆以及锐角三角函数的各种定理和证明方法。
其中初中锐角三角函数是高中学三角函数的基础，
圆是学解析几何的基础，
而且圆的证明能够综合其他章节的各种知识和证明技巧，
所以中考题倒二压轴题就是圆的综合题，可以把所有的几何放进去考。
而这道题是最难的，比倒一更难，
倒一的函数综合题一般可以通过刻意训练达到百分百解出的效果，
而几何综合题很难说百分百这个词。
高中几何基本上就是解析几何和立体几何。
解析几何就是应用函数来研究图形，
除了直线和圆以外，还研究圆锥曲线。
立体几何也分成两个部分，一部分研究几何体，
就是各种求体积，背公式就可以；
一部分研究空间关系，就是平面几何的升级版。
现行教材已经开始着重介绍空间向量，这是现代数学的方法，
是更加先进的武器，值得大力提倡！！
大学的几何学，最基础的是空间解析几何，跟高中立体几何平面算空间向量和平面解析几何给定坐标轴然后死磕圆锥曲线不同，空间解析几何最重要的内容是各种变换，把图形和坐标轴变来变去来研究图形性质。
最后说说概率统计：
初中的统计模块，
主要强调对数据的整理和基本处理，比如如何抽样（简单抽样、分层抽样之类），如何做统计表和统计图来展示数据，计算简单的统计量（均值、众数、中位数、方差、标准差、极差之类），以及初步了解什么是概率。
高中的学习深度增加，概率的必修部分研究随机事件的等可能性和独立性，进而引出古典的概率计算模型——古典概型。
选修部分先讲解计数原理和排列组合，给计算事件可能性提供了基础；
然后介绍条件概率、随机变量和分布、数学期望和方差。
统计必修部分也是讲解数据的收集、特征和表示，以及如何通过样本数据来估计总体；
选修部分则关注回归分析和独立性检验。
概率和统计的思想很重要，是评价一个人科学素养的重要指标。
不过没有高等数学工具，高深的统计学理论是不严密的，很容易让学生知其然而不知其所以然。
进入大学，概率论和统计学一般安排在微积分和线性代数修完以后。
概率论首先是介绍随机事件的概念，介绍古典概型、几何概型的应用和缺陷，为了克服古典理论的缺陷，苏联大数学家柯尔莫格罗夫提出了基于集合论的现代概率论公理化体系；
随后介绍随机变量和随机向量（多元随机变量）及其分布，
学习如何从已知随机变量的分布去求解未知随机变量的分布，之后介绍了期望、方差和特征函数，
最后介绍大数律与中心极限定理——大数律告诉我们，一旦随机事件的大量重复出现，其结果往往呈现几乎必然的规律；
中心极限定理告诉我们，大量重复的随机事件产生的随机变量，其均值近似服从正态分布。
概率论是统计学的基础，统计学是概率论的应用，两者相辅相成，各种统计量的计算就是基于概率论的基本原理。
数学对于非数学研究者的意义在哪里？
我们从小学开始，
一直在学习数学，一直到大学还在学习数学。
许多人半辈子都被数学支配，有喜悦可能也有恐惧。
小学数学教会我们计算，这是数学当中最有用的部分，每个人都在用，
每个人都会在生活中应用，因为亲切直观。
到了初中以后，数学逐渐越来越失去它的直观性，开始露出它本来的面目——抽象，而且越学越复杂，越学越抽象。
对于非数学工作者来说，
数学是一种书面语，跟中文、外语的书面语一样，是精确表达的一种方式。
通过这种表达方式，
我们可以把一个科学理论严格化、抽象化，使它更容易被理解和使用。
没错，是更容易被理解；
但是对于不懂这门语言的人，就会觉得跟天书一般。
没错，数学居然是和英语一样的，
是一个语言和工具，帮助我们认识更广阔的世界。
原来无法解决的科学问题，
往往通过新的数学方法就迎刃而解，
比如微积分、矩阵、群论、非欧几何，
就把原来看来极其复杂的问题变得非常容易解释。
而对于不懂这门语言的人，就无法进入这个缤纷多彩的世界。
中国人从小到大注重数学，这是十分有道理的，
因为没有这个工具，我们就无法对理化生，
对所有的工科进行深入的学习。
欢迎读者留言补充。
