在25考研不到几周的时间，以后考前每天都更新一道数分与一道高代考题，直到考研结束，都是考研中常考题型，希望同学们好好加油！
例1. 已知，级数发散，证明级数也发散.
解. 设，由正项级数发散，可知递增且，故
这里我们令，则，，有
由柯西收敛准则可知发散.
例2. 设是维欧氏空间的正交变换,证明:最多可以表示为个镜面反射的复合.
证. 对给定的阶矩阵其中是维实列向量,且则矩阵是正交矩阵,称为镜像矩阵.容易验证即单位矩阵是两个镜像矩阵之积.
设是两个不同的维实列向量,且则存在实镜像矩阵使得实际上,令即可.
可证明欧氏空间中的正交变换是镜面反射的充要条件是在一组标准正交基下的矩阵为镜像矩阵.
要证本题结论,只需证对任意阶实正交矩阵可以分解不超过个镜像矩阵之积即可.
对矩阵的阶数用数学归纳法.
当时,结论显然成立.
假设结论对阶矩阵成立,将阶正交矩阵按列分块为
则从而存在镜像矩阵使得注意到还是正交矩阵,必有
容易验证也是正交矩阵,从而由归纳假设,存在阶镜像矩阵使得
于是
可知都是镜像矩阵.
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