1.（2025.中国科学院大学）设 在 上连续可微, . 证明:
证. 由 ，即
故
2.（2025.中国人民大学）设 ，且为非负函数，并满足
证明:
证. 易验证如下不等式成立
再利用题意条件，故
3.（2025.北京师范大学）设 在 上可导, 且 在 上连续. 证明:
证. 同第1题解答.
4.（2025.华中科技大学）设 在 上有连续的一阶偏导数，且在边界上取值为零，证明：
证. 记
由有连续一阶偏导数，可知有界，即对 ，由 到 引入射线，交于圆周上点 ，且根据边界上取值为零，故由Taylor公式和Cauchy不等式得
所以
5.（2025.中山大学）设 在 上无穷次可导，且满足
证明：
证. 首先考虑 ，由于 ，根据介值定理 ，设 ，则若令 ，当 时，有 ，即
然后考虑
因为 ，即
所以
6.（2025.湖南大学）设 在 上连续，且满足
证明：存在 使得 .
证. 假设对 ．则
矛盾．故必 ，
7.（2025.重庆大学）设函数 在 上具有连续的一阶导函数．
(1) 证明：对任意的 ，有(2) 证明不等式：
证. (1) 由积分第一中值定理，存在 ，使得 ．所以
故
(2) 由积分第一中值定理，有 ．
再由牛顿莱布尼公式， ，所以有
两式相加有
8.（2025.重庆大学）设 是 中由光滑简单封闭曲线 所围成的闭区域，若二元函数 在 上具有连续的二阶偏导数，记 ．证明：如果 在曲线 上满足 ，则
证. 由格林公式以及题意可知
所以
再由均值不等式，故
9.（2025.上海交通大学）设 为非负连续函数，对于 ，存在， 满足
证明：对任意的正数 ，有
证. 固定 ，选取非负整数 使得 , 由 的非负性可有
由题设条件可知
故
10.（2025.上海交通大学）设, 且 , 证明:
其中.
证. 由分部积分
再由 Cauchy不等式可得
因此
其中.
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