1.（2025.中国科学院大学）设 在 上连续可微, . 证明:
2.（2025.中国人民大学）设 ，且为非负函数，并满足
证明:3.（2025.北京师范大学）设 在 上可导, 且 在 上连续. 证明:
4.（2025.华中科技大学）设 在 上有连续的一阶偏导数，且在边界上取值为零，证明：
5.（2025.中山大学）设 在 上无穷次可导，且满足
证明：6.（2025.湖南大学）已知
证明：
7.（2025.重庆大学）设函数 在 上具有连续的一阶导函数．
(1) 证明：对任意的 ，有
(2) 证明不等式：
8.（2025.重庆大学）设 是 中由光滑简单封闭曲线 所围成的闭区域，若二元函数 在 上具有连续的二阶偏导数，记 ．证明：如果 在曲线 上满足 ，则
9.（2025.上海交通大学）设 为非负连续函数，对于
证明：对任意的正数 ，有
成立.
10.（2025.上海交通大学）设 , 且满足 , 证明:
其中 .
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