积分不等式作为微积分学中的一类非常重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用，它的建立和证明是数学分析中的重要问题. 比如在研究偏微分方程相关问题时，在函数空间框架下的范数能量估计也都能与积分不等式的建立和证明相关. 多年以来，积分不等式的证明一直是倍受大家关注，它的证明技巧性较强，涵盖了分析学中各类知识，是学习“高等数学” 的重点和难点，其本质是将数值问题归结为函数问题，利用分析学理论研究函数性质，进而证明积分不等式.当然作为本科阶段，学生更多关注的是积分不等式在数学考研与数学竞赛的份量，毫无疑问它的比重很大，如果题目就那么稍微变形下，它可能会成为考场上的一道压轴大题！ 研究积分不等式的证明方法，不仅解决了一些积分不等式的证明，而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来，从而拓宽我们的视野，提高我们的发散思维能力和创新能力. 对于积分等式的恒等证明无非换元和分部积分等手段，但对积分不等式，你得放缩且这个放缩是天马行空的，是让你眼前一亮，且放缩是不太好把控的，因此针对积分不等式，本书从不同类型与不同难度的角度去解决此类不等式问题.
本书主要对考研与数学竞赛中常用到的积分不等式作总结以及拓宽自己知识面的积分不等式，主要包括 Cauchy-Schwarz、Jensen、Young、Hadamard、Dirichlet、Steffensen、Favard、Hilbert、Chebyshev 、Minkowski、Hölder、opial、Carleman、Carlson 、Ostrowski、lyengar、Gronwall 与Wirtinger 等，并对相关赛事在往年考研与竞赛的例题做出相关解答.
新版内容修改可部分小错误，新增了更多例题和不同类型的不等式以及考研与竞赛专栏有，以及增加了蒲和平大学生数学竞赛教程第二版又补充了美国数学月刊近二十年中积分不等式赛题，这两部分留作同学自己作为练习，都能在前两章以及美国月刊官网上找到解答.
直接增元法：若，则有; 绝对值不等式：; 若，且，则有; 分部积分法：; 若,则;
对于被积函数给定的条件，适当采取相应的解决办法，比如说被积函数为“单调、连续、可积、可导、一阶可导、二阶可导、连续可导、阶连续可导或具体函数”等，对给定的条件我们可以给出对应的解决方法，如果只是连续，那可以从牛顿莱布尼茨公式、拼凑、分部柯西、中点处taylor或待定系数等解决手段的角度出发，当然不论被积函数是哪种条件下，都离不开换元法、定积分定义、构造变上限积分及函数单调性、待定系数法、定积分性质、中值定理、对被积函数的原函数或被积函数泰勒展开等方法解决，除此之外题意对的一阶导或阶导条件限制，显然要用到中值定理对其taylor展开或积分余项，而taylor公式揭示了多项式与函数的关系.
积分不等式的建立和证明方法多样，比如以柯西不等式为工具，通过分部积分法或牛顿-莱布尼茨公式建立函数与其导数积分之间的关系，进而证明带有某函数积分和该函数导数积分的积分不等式. 总而言之，关于积分不等式这类题目，变形所产生的"复产品"非常之多和广，你要学会归类并反复思考才能有所突破.
对于积分不等式的学习，除了积累各种题型的方法之外，更重要是学会类比，从特殊到一般的发散思维，这样会有一系列产物，能熟练一般形式的积分不等式，能将问题整体化，从而做到举一反三的效果. 积分不等式的研究基础深厚且应用非常广泛，通过本书的研究，不难发现研究积分不等式的方法有很多，可从分析也能从代数角度入手，还可从积分形式和结构方面入手，去研究一类积分不等式并对其推广. 希望你们能从我的这本书中学到精髓，同学们加油！
近年来我写的八本书，可见推文简要介绍下我的7本书+大学生数学竞赛习题题解，欢迎订阅。
