在25考研不到几周的时间，以后考前每天都更新一道数分与一道高代考题，直到考研结束，都是考研中常考题型，希望同学们好好加油！
例1. 设函数 在 上有二阶连续导数, 且 . 求证:
并指出不等式中等号成立的条件.
证. 考虑三次多项式 ，则满足 . 此时，
由于
所以
则
当且仅当 ，即 时取等号成立.
例2. 设是维欧氏空间内的一个线性空间, 满足
(1) 若是的一个特征值, 证明.
(2) 证明：内存在一组标准正交基, 使在此组基下的矩阵为对角矩阵.
(3) 设在的某组标准正交基下的矩阵为, 证明: 把看作复数域上的阶方阵, 其特征值必为0或纯虚数.
证. (1) 设对应的特征向量为，即，则有
所以，由于知，即.
(2) 由于
即是对称变换，故存在的一组标准正交基使在该基下的矩阵为对角矩阵，即证.
当然这题一开始你可能从是反对称变换角度思考，那也是没问题，那么在标准正交基下矩阵为实对称矩阵，则，故在该基下的矩阵为，又为实对称矩阵，故可正交相似于对角矩阵.
(3) 设是属于特征值的特征向量，由于是实反对称矩阵，即，即
故只能是和特征值.
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