例1. 设函数 在上三阶可导,且 证明: 至少存在一点 使
证. 作函数
由于 因此至少存在两点 使得又 因此至少存在两点 使得
从而至少存在一点 使得 即
例2. 设 在上连续,在 内可导, 并且 证明:存在 使得
证. 令 则
由此可得,存在 使得 即 从而存在 使得
注意到 即得所证.例3. 设在区间上连续, 在内三阶可导. 证明: 使得
证. 令
于是有
由Rolle定理可知 又有,再次使用Rolle定理, 即依Rolle定理使得. 结论得证.
例4. 设 在 区间上有三阶导数，
证明 : 在 内至少存在一点 ，使得 .
证. 由条件可知，函数 在 上都连续，从而可以得到 在 上连续， 内可导，且 . 所以由罗尔定理可知，在 内至少存在一点 ，使得 . 当 ，有
由于 在 上的连续性，有
在 上由罗尔定理，至少存在一点 ， 使得 . 当 ，有
同样有 . 因此在 上由罗尔定理，至少存在一点 ，使得
例5. 设在可导，若，试证：
证. 构造辅助函数
若, 则由Rolle知
若 由 的连续性，不妨设 则有
又由Lagrange知
由Darboux定理知导函数具有介值性
例6. 设有界函数 实数集 上二次可微．证明： ，使得
证. (方法一) 若 在 上变号，由导函数的介值定理知 ，使得 ．若 在 上不变号，不妨设 ，此表明 严增，因此存在 ．由泰勒定理得
其中 介于 与 之间．由 知 ．于是，若 ，令 得 ，若 ，令 得 ，这与 有界矛盾，故 在 上变号，从而结论成立．
(方法二) 若 ，使得 ，由 Rolle 定理知结论成立．若 ， ，则 在 上严格单调．事实上，若不然，则 ，有
由导函数的介值定理知： ，有 ，与假设矛盾，故 在 上严格单调．不妨设严格单增，则存在 ．
若 ，则当 时，由拉格朗日中值定理得
若 ，则当 $x<c$ 时，由拉格朗日中值定理得<="" section="">
由此得 在 无界，这与已知条件矛盾，故命题为真．
例7. 设函数 在 上连续可微, 对任意 , 都有
且 . 证明: .
证. 只须证 . 由 Lagrange 中值定理, 存在 , 使得
记
则 .
设 , 若 , 则由上确界定义, 存在数列 , 使得 . 由 的连续性可知,
即 . 又由 Lagrange 中值定理, 存在 , 使得
这与 相矛盾, 故必有 , 即点集 无上界, 则存在数列 , 使得 , 且 , 由归结原则
由 的任意性可知 .
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