在25考研不到几周的时间，以后每天都更新一道数分与一道高代考题，直到考研结束。这些题均为考研中常考题型，希望同学们好好加油！
例1. 设 ，若积分
均收敛，试证 收敛.
证. 由Cauchy-Schwarz不等式
即反常积分 收敛.又注意到
下证
(1) 若 , 则存在数列 满足 , 但 , 这样，
(2) 若 , 则对 , 存在 , 当 时 , 这时有
则矛盾.故不妨设
则存在数列 满足 , 这时
令 ,则
是收敛的.
例2. 设 是 阶方阵, , 且 有 个互异的特征值, 证明:
(1) 存在可逆矩阵 , 使得 与 同时为对角阵;
(2) 存在多项式 使得 .
证. (1) 由于 有 个互异的特征值 , 所以 可对角化, 即存在可逆矩阵 使得
结合 以及
记 , 则 , 即 . 由于 , 所以 , 也就是说 为对角阵.
(2) 对互异的 及 (1) 中的 , 考虑关于 的线性方程组
其系数行列式为
所以方程组
存在唯一解. 这说明存在唯一的多项式 , 满足 , 进而
即 .
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