这个月对数分和高代讲义改版[数分高代习题讲义2026考研版]，对这两本讲义删减一些题，并将25名校985考研真题加入部分中等题及以上，没有大改，并删减版本，统一为2026考研版。
数分讲义593页，高代讲义285页，对26年数学专业考研生，可用我的三本书，两本讲义+名校真题集。
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例1. 讨论的连续性, 可微性.
证. 显然 , 由Weierstrass判别法可知 在上一致收敛, 因而和函数在上连续.
由于级数求导后的级数为, 对 , 有
由Dirichlet判别法可知 关于内闭一致收敛, 从而在上连续可导.
记
下面考虑的是 在 处的可微性, 只需讨论的情况即可.
由于
由Dirichlet判别法可知收敛, 于是由Abel定理,
于是对 有
则有
即
根据Lagrange中值定理有
由于, 从而.同理可知.
所以 在处单侧导数不等, 从而和函数在处不可微.
例2. 设函数, 而且, 有
证明: , 其中为一常数.
证. 对于任意 有
从而收敛, 故使得
任取, 则有
从而一致收敛, 设, 则有, 从而, 可得.
例3. 设函数 在 连续,定义在 上的函数列满足 连续,且
证明：函数列在 上一致收敛于 0 .
证. 由题设 和 连续，可设存在正常数 和 使得
下证 ，有 .
可利用数学归纳法. 当 时，
成立；假设命题当 时成立，则
所以当 时命题也成立.
故对有
由于 ，由Weierstrass判别法知 于.
例4. 设上的连续函数序列点收敛到,证明的充要条件是在上是等度连续的，即当且时，对于有
证. ：由一致收敛知，对，存在,当时对有
又因为在闭区间上连续，从而一致连续，即存在,当时，有从而有(时)
而当时，那么就有个，其中就取最小的那一个为， 当时，就有
：首先证明也是一致连续的.由于是等度连续的，则对时就有此时令就有
这也即是一致连续的. 由于点点收敛，则对当时有再由等度连续性，当时，那也就是
这样的话，由有限覆盖定理知，存在有限多个长为的区间覆盖.这样就有有限多个， 令为其中最大的一个，当时就有
这就是一致收敛的定义.
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