经过了4个多月的学习，终于来到了《几何原本》第一卷的完结，最后的3个命题、留给了最特殊的平行四边形——正方形。
看，正方形
根据定义I.22，四边形中，四条边相等并四个角为直角的称为正方形，那很自然的构建一个正方形只需要给定一条边。
命题I.46
给出一条线段，可以作一个正方形。
命题I.46题设 ▼
EF是过A点的垂线 ▼
作平行线 ▼
正方形ABIG ▼
由以上作图过程可知：AB平行于GI、AG平行于BI → ABIG是平行四边形 根据命题I.34（平行四边形中，对边相等，对角相等）→ AB = GI、AG = BI；∠α=∠γ、∠β=∠δ 又根据定义I.15（圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等）→ AB = AG → AB = GI = AG = BI 再根据命题I.29（一条直线与两条平行线相交，同旁内角互补）→ ∠α与∠β互补（AG平行于BI）、因为FE是AB的垂线，因此∠α为直角 → ∠β也是直角 → ∠α=∠γ=∠β=∠δ 都是直角，证毕。
命题I.47
在直角三角形中，以斜边为边的正方形面积等于以两直角边为边的正方形面积之和（两直角边的平方和等于斜边的平方）。
命题I.47题设 ▼
命题I.47 ▼
命题I.47辅助线 ▼
因为∠δ与∠ε有共同的∠ABC → ∠δ=∠ε 又AGFB与BDEC都是正方形（各边均相等）→ FB = AB、BC = BD 根据命题I.4（如果三角形的两条对应边及夹角相等，两个三角形亦全等），得到FBC与ABD全等
命题I.47证明 ▼
再根据命题I.41（如果一个平行四边形与一个三角形同底边，并于同一顶点连线平行于底边，那么，平行四边形的面积是三角形的两倍），得到BDLN是ABD的2倍 因为∠α=∠β都是直角，基于命题I.14（两条不在一边的射线过任意直线上的一点，所构成的邻角若等于两个直角的和（平角），那么这两条射线构成一条直线），点G、A、C在同一条直线上 于是命题I.41再次生效，到AGFB是FBC的2倍 因为FBC=ABD，所以AGFB=BDLN， 然后连接AE、BK，通过类似的方法可以证明HACK=CNLE → AGFB + HACK = BDEC，证毕。
命题I.48
在一个三角形中，如果一边为边的正方形等于另两边为边的正方形之和，那么，后两边的夹角是直角。
命题I.48题设 ▼
命题I.48辅助线 ▼
命题I.48辅助线 ▼
因为AD=AB → 以AD为边做出来的正方形与以AB为边做出来的一样大 AC边是公共的，于是 AD边、AC边正方形面积相加与AB、AC边正方形面积相加一样大 现在回想一下命题I.47，因为ACD是直角三角形，所以DC为边的正方形面积是AD、AC边面积的2倍 → DC=BC 这样就有了DC=BC，根据命题I.8（如果两个三角形有三边对应相等，那么这两个三角形的所有对应角亦相等），因此∠BAC也是直角，证毕。
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