如果你是欧几里得，在研究透了各种情况下的平行线作法、并且开始倒腾平行四边形后，下一步会要想往哪个方面继续研究？
聚焦于平行线之间
在2条平行线之间的，可以是平行四边形、也可以是三角形，把这些不同图形连接在一块的，就是它们的面积。
命题I.35
同底且在相同的二平行线之间的平行四边形面积相等。
这俩都是平行四边形，因此根据命题I.34（平行四边形中，对边相等）AD=BC=EF、AB=DC 得到AD=EF → AD+DE = EF+DE → AE = DF
因为AB平行于DC，∠α与∠β互为同位角，根据命题I.29（一条直线与两条平行线相交，所形成的同位角相等），因此∠α=∠β 这样我们就集齐了AB=DC、∠α=∠β、AE = DF这个命题I.4（如果三角形的两条对应边及夹角相等，那么其第三边亦相等，两个三角形亦全等，其余的两对应角亦相等）的题设条件，于是就有蓝色三角形ABE与黄色三角形DCF全等 三角形全等了，自然它们的面积也相等，同时减去公共部分三角形DEG的面积依然相等 再同时加上三角形BCG面积还是相等，而分别加上了BCG后就是咱们题设中两个平行四边形的面积，证毕。
命题I.36
等底且在相同的二平行线之间的平行四边形面积相等。
根据题设，BC=FG、FG=EH，因此BC=EH 通过命题I.33（一组对边平行且相等的四边形的另一组对边也平行且相等）得到BE与CH平行，因此EBCH是平行四边形 于是根据命题I.35就有面积关系：ABCD = EBCH = EFGH，证毕。
命题I.37
同底等高的三角形面积相等。
根据命题I.31（通过直线外一点可以作一条直线的平行线）我们可以做出来AC的平行线EB、BD的平行线CF 接下来利用命题I.35的结论，就有面积关系：ACBE = BCFD 再根据命题I.34（平行四边形中，对角线平分该四边形），在上面的等式中2边除2就得到：ABC = DBC，证毕。
命题I.38
等底等高的三角形面积相等。
根据命题I.36有面积关系：ACBG= HFED 在根据命题I.34得到面积：ABC = DEF，证毕。
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