三角形命题告一段落，来到平行线的新系列，一开始倒是都不难，就是新名词、新概念比较多。
两条平行线不会有交汇的一天
平行线的第一命题，首先就是要告诉你，怎么找到两条平行线：
命题I.27
如果一条直线与另两条直线相交，所形成的内错角相等，那么这两条直线平行。
命题里出现一个新概念「内错角」，先把图画出来：
命题I.28
一条直线与两条直线相交，如果所形成的同位角相等，那么这两条直线是平行线；如果同旁内角互补，两条直线也平行。
根据命题I.15（两条直线相交，对顶角相等。），就有∠α=∠δ 因为∠α=∠β，于是∠δ=∠β，而∠δ与∠β是内错角，根据命题I.28，得出直线AB与直线CD平行 忘记掉上面∠α=∠β的题设，而只考虑∠β与∠γ互补
根据命题I.13（两条直线相交，邻角是两个直角或者相加等于180°。），∠δ与∠γ也互补 同样得出∠δ=∠β，因为它们互为内错角，因此得出直线AB与直线CD平行，证毕
命题I.29
一条直线与两条平行线相交，所形成的内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。
不等式两边都加上∠δ，于是得到 ∠α+∠δ>∠β+∠δ 根据命题I.13，∠α+∠δ=两个直角，因此∠β+∠δ<两个直角 又基于公设I.15（同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。），得出AB与CD必定相交，与题设的平行发生了矛盾，因此假设不成立，∠α=∠β 再根据命题I.15，∠α=∠γ，于是∠γ=∠β，于是同位角相等也证明了 最后，因为∠γ+∠δ=∠β+∠δ，而∠γ与∠δ互补，因此∠β与∠δ也互补，证毕
命题I.30
平行于同一直线的两条直线相互平行。
AB平行于EF，因此内错角相等：∠α=∠β 又CD平行于EF，因此同位角相等：∠β=∠γ 于是根据公理I.1（等于同量的量彼此相等），∠α=∠γ 再根据命题I.27，得到AB与CD平行，证毕
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