基于面积的作图（二）
文化
科学
2024-07-22 23:03
广东
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跟上周一样，本周的两道命题也是作图相关，之所以拆开来说，是因为感觉到信息量确实有点大……
命题I.44
给定一条线段，给定一个角，可建一个平行四边形使其面积等于给定的三角形。
命题I.44 ▼
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命题I.44其实跟命题I.42（可以建一个平行四边形使其面积等于一个给定角的给定三角形的面积）有点儿像，只是这里除了给定的三角形CDE、给定的∠α外，还多了给定的线段AB，因此作图过程其实是类似的。首先咱们甭管线段AB，跟命题I.42一样，把满足另外2个条件的平行四边形先画出来：做出面积相同的平行四边形PQEK ▼
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上图中的平行四边形PQEK满足了具备内∠β等于给定的∠α、面积PQEK=CDE，但并没有满足条件其中一条边等于线段AB，因此PQEK并非是我们寻找的平行四边形。下面继续，在PK的延长线上取一个点R，使得KR=AB：取一段与AB相等的线段 ▼
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接下来利用命题I.31（通过直线外一点可以作一条直线的平行线）过R点作DE的平行线，同时延长QE，得到一个新的平行四边形KRUE：平行四边形KRUE ▼
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然后作KRUE的对角线，并延长，与上方平行线交于点T，再过点T作QU的平行线，这样又得到一个平行四边形TVRP：平行四边形TVRP ▼
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有没有一点熟悉的味道？现在我们要证明的是平行四边形WVRK就是题设中要寻找的平行四边形：四边形WVRK ▼
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- 根据命题I.43（在任何平行四边形中，对角线上两边的平行四边形的补形面积相等），于是有面积关系：PQEK=WVRK，
- 再根据命题I.15（两条直线相交，对顶角相等），有∠β=∠γ
- 由作图过程可知，KR=AB，因此题设的3个条件均已满足，证毕。
命题I.45
建一平行四边形使其内角等于一给定角，面积等于给定的多边形的面积。
命题I.45 ▼
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又上难度了，这次主图参照的面积不再是三角形、平行四边形，而是扩展到了任意的多边形，这里假设是ABCD，先把BD给连接上：命题I.45辅助线 ▼
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这样ABCD就被分割成了2个三角形：ABD跟DBC，如果只考虑作一个内角满足∠α、面积与ABD相等的平行四边形，就是命题I.42提供的方法，可以得到平行四边形SMBR：平行四边形SMBR ▼
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再以同样的方式，做出与DBC对应的平行四边形EEFV：平行四边形EEFV ▼
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看起来有点儿乱对吧，没关系咱们把刚画出来的SMBR与EFVD移动出来：移动平行四边形 ▼
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使得线段SR与EF重合、点R与点F重合，稍做整理后就变成了下面的这个样子：平移对其后的平行四边形 ▼
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上图并非我们作图的最终形态，虽然在面积上SMBR+EFVD=ABCD，可并不满足命题要求的一个平行四边形。这里作图先缓一缓，咱们先来证明一下，这种平移拼接是有效的，也就是点B、F/R、V在同一条直线上、点S、E、F/R也在同一条直线上：- 再根据定义I.22（两组对边、两组对角分别相等的为平行四边形）有∠α=∠β=∠ε=∠γ=∠ζ
- 又从命题I.29（一条直线与两条平行线相交，同旁内角互补），∠θ与∠ε互补，∠λ与∠ζ互补
- 这样就可以推导出∠λ与∠ε互补，基于命题I.14（两条不在一边的射线过任意直线上的一点，所构成的邻角若等于两个直角的和（平角），那么这两条射线构成一条直线），就证明了点B、F/R、V在同一条直线上
- 同时因为∠ε=∠ζ → ∠θ=∠λ，根据命题I.28（一条直线与两条直线相交，如果所形成的同位角相等，那么这两条直线是平行线）EF（R）与MB平行
- 因为有命题I.31（通过直线外一点可以作一条直线的平行线），因为F、R点重合，通过它们仅能做一条MB的平行线，也就是说SF与ER重合，因此S、E、F/R在同一条直线上
在上面证明的基础上现在回顾一下命题I.44，我们可以做出一个平行四边形BXYF与EFVD面积相等、同时它的一条边为给定的线段BF，就像是下面这样：平行四边形BXYF ▼
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这样MXYS就是命题所要求的平行四边形，同时注意命题中提到的是多边形、基于这个作图方式，我们可以把多边形通过顶点连线先切分为多个三角形，接下来利用平移、拼接的方式，最终得到一个完整的平行四边形，证毕。![]()
