现在欧几里得手里有了面积的工具，不免就会开始思考能干点儿啥，既然在平行线基础上能推断面积相等、那反过来，是不是面积相等情况下也能推断线平行？
逆向思考的胜利
延续命题I.37（同底等高的三角形面积相等）的思考，但是我们直接连接了三角形的两个顶点，直接就认为连线与底边平行，那是因为题设中明确提到了三角形登高，那如果反过来，三角形同底、面积相等，是不是也能得出它们登高、即顶点连线与底边平行呢？
命题I.39
有共同底边位于同侧面积相等的三角形的另两点的连线平行于底边。
AE平行于BC，换句话说就是三角形ABC与三角形EBC等高 根据命题I.37（同底等高的三角形面积相等），就有三角形ABC与三角形EBC面积相等 而三角形EBC面积小于三角形DBC，根据题设，三角形ABC与三角形DBC面积相等，这就发生了矛盾 同样的方法，假设三角形DBC更高，在AC上取点，我们也可以得出同样的矛盾结论，因此过三角形任意顶点与底边平行的线只能是两个三角形顶点的连线，证毕。
命题I.40
等底并在同一边的面积相等的三角形，顶点的连线与底边平行。
命题I.41
如果一个平行四边形与一个三角形同底边，并于同一顶点连线平行于底边，那么，平行四边形的面积是三角形的两倍。
根据命题I.37，有面积关系：ABC=FBC 再根据命题I.34（平行四边形中，对角线平分该四边形），ABC是ABCD面积的一半，于是FBC也是ABCD面积的一半，证毕。
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